6. Арифметическая прогрессия и трапецция (4 Б.) Две меньшие стороны прямоугольной трапеции равны. Три различные стороны трапеции образуют арифметическую прогрессию. Периметр трапеции равен 288 m . Какая из сторон трапеции является наибольшей? Найди все стороны трапеции. Ответ (пиши спороны трапеции в возрастающем порядке): первая сторонә равна \( \qquad \) M. Вторая сторона равна \( \qquad \) M. Третья сторона равна \( \qquad \) M. Четвёртая сторона равна \( \qquad \) M. Дополнительный вопрос 1. Чему равна разность арифметической прогрессии? \( d= \) м. 2. Какие соотнсшения используются в решении задачи?

Обозначим через x длину меньшей базы и через x длину вертикальной боковой стороны (в прямоугольной трапеции угол у этой стороны прямой). Пусть большая база равна x + 2d, а наклонная боковая сторона равна x + d, где d – разность арифметической прогрессии, состоящей из трёх различных сторон (x, x + d, x + 2d). Заметим, что именно три различных числа (x, x + d, x + 2d) образуют арифметическую прогрессию, а две равные стороны (меньшая база и вертикальная сторона) равны x. Также периметр трапеции равен:   x + x + (x + d) + (x + 2d) = 4x + 3d = 288.                 (1) Опишем геометрическую ситуацию. Пусть трапеция ABCD такова, что основания – AB (меньшая, равна x) и CD (большая, равна x + 2d), а боковые стороны – AD (вертикальная, равна x) и BC (наклонная, равна x + d). Проведём через вершину C перпендикуляр к прямой AB, и обозначим основание этого перпендикуляра – точку E. Тогда AE = разность оснований = (x + 2d) – x = 2d, а отрезок CE равен высоте (x). В прямоугольном треугольнике BCE имеем:   (наклонная сторона)² = (вертикальный отрезок)² + (проекция на основание)², то есть:   (x + d)² = x² + (2d)².                (2) Рассмотрим уравнение (2):   (x + d)² = x² + 4d²   x² + 2xd + d² = x² + 4d²   2xd + d² = 4d² При d ≠ 0 делим на d:   2x + d = 4d  ⟹ 2x = 3d ⟹ x = (3d)/2.          (3) Подставим (3) в уравнение (1):   4·(3d/2) + 3d = 6d + 3d = 9d = 288 ⟹ d = 288/9 = 32 м. Тогда по (3):   x = (3·32)/2 = 48 м. Определим стороны трапеции:  1. Меньшая база: x = 48 м.  2. Вертикальная боковая сторона (при прямом угле): x = 48 м.  3. Наклонная боковая сторона: x + d = 48 + 32 = 80 м.  4. Большая база: x + 2d = 48 + 64 = 112 м. Проверка периметра:   48 + 48 + 80 + 112 = 288 м.  ✔ Ответы: Основной ответ Перестановка сторон в возрастающем порядке (при этом повторяющееся значение стоит один за другим):  Первая сторона равна 48 м.  Вторая сторона равна 48 м.  Третья сторона равна 80 м.  Четвёртая сторона равна 112 м. Дополнительный вопрос 1. Разность арифметической прогрессии равна: d = 32 м. 2. В решении задачи использованы следующие соотношения:  – Уравнение периметра: 4x + 3d = 288.  – Свойство арифметической прогрессии: последовательные слагаемые имеют разность d (x, x + d, x + 2d).  – Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного наклонной стороной (x + d), высотой (x) и проекцией на основание (2d): (x + d)² = x² + (2d)². Таким образом, все стороны трапеции найдены.