Calcula el área de la región acotada limitada por la gráfica de la función \( f(x)=x^{2}+2 x-3 \) y el eje de abscisas.

Para calcular el área de la región acotada por la gráfica de la función \( f(x) = x^2 + 2x - 3 \) y el eje de abscisas, primero debemos encontrar los puntos donde la función intersecta el eje x. Esto se hace igualando \( f(x) \) a 0 y resolviendo la ecuación cuadrática: \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] Aplicando la fórmula cuadrática: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] donde \( a = 1 \), \( b = 2 \), y \( c = -3 \), encontramos que los puntos de intersección son: \[ x = -3 \quad \text{y} \quad x = 1 \] El área se obtiene integrando la función entre estos límites y tomando el valor absoluto, ya que el área no puede ser negativa: \[ \text{Área} = \int_{-3}^{1} (x^2 + 2x - 3) \, dx \] Calculamos la integral: \[ \int (x^2 + 2x - 3) dx = \frac{x^3}{3} + x^2 - 3x \] Evaluamos en los límites: \[ \left[ \frac{1^3}{3} + 1^2 - 3(1) \right] - \left[ \frac{(-3)^3}{3} + (-3)^2 - 3(-3) \right] \] \[ = \left[ \frac{1}{3} + 1 - 3 \right] - \left[ -9 + 9 + 9 \right] \] \[ = \left[ \frac{1}{3} - 2 \right] - 9 = \left[ \frac{1}{3} - \frac{6}{3} \right] + 9 = -\frac{5}{3} + 9 = \frac{22}{3} \] Finalmente, el área de la región acotada es: \[ \text{Área} = \frac{22}{3} \]