18 Dans le plan complexe muni d'un repère ortho- normé direct ( $$ 0 ; \vec{u}, \vec{v} $$ ), on considère les points $$ A, B $$ et $$ C $$ d'affixes respectives: $$ z_{A}=-2+4 i ; z_{B}=2+2 i ; z_{C}=-1-2 i $$ et $$ z_{D}=-5 $$. a) Faire une figure. Que peut-on conjecturer quant à la nature du quadrilatère ABCD? b) Démontrer cette conjecture.

Question

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$$
\begin{array}{rcl}
z_A &=& -2 + 4i \quad \text{donc } A(-2,4),\[1mm]
z_B &=& 2 + 2i \quad \text{donc } B(2,2),\[1mm]
z_C &=& -1 - 2i \quad \text{donc } C(-1,-2),\[1mm]
z_D &=& -5 \quad \text{donc } D(-5,0).
\end{array}
$$

**a) Construction de la figure et conjecture**

On place les points dans le plan muni d’un repère orthonormé.

- Pour $$ A(-2,4) $$ et $$ B(2,2) $$, le segment $$ AB $$ va de $$(-2,4)$$ à $$(2,2)$$.
- Pour $$ C(-1,-2) $$ et $$ D(-5,0) $$, on relie les points pour former le quadrilatère $$ ABCD $$ (en reliant dans l’ordre $$ A \to B \to C \to D \to A $$).

On calcule les vecteurs représentant les côtés :

$$
\vec{AB} = B-A = \bigl[(2-(-2)),\, (2-4)\bigr] = (4,\,-2).
$$

$$
\vec{BC} = C-B = \bigl[(-1-2),\, (-2-2)\bigr] = (-3,\,-4).
$$

$$
\vec{CD} = D-C = \bigl[(-5-(-1)),\, (0-(-2))\bigr] = (-4,\,2).
$$

$$
\vec{DA} = A-D = \bigl[(-2-(-5)),\, (4-0)\bigr] = (3,\,4).
$$

On observe que :

$$
\vec{AB} = (4,\,-2) \quad \text{et} \quad -\vec{CD} = (4,\,-2),
$$
$$
\vec{BC} = (-3,-4) \quad \text{et} \quad -\vec{DA} = (-3,-4).
$$

Ainsi, les côtés opposés sont égaux et parallèles.

**Conjecture :** Le quadrilatère $$ ABCD $$ est un parallélogramme.

**b) Démonstration**

Pour démontrer que $$ ABCD $$ est un parallélogramme, il suffit de montrer qu'un des critères suivants est réalisé :

1. Les côtés opposés sont parallèles.
2. Les diagonales se coupent en leur milieu.

Ici, nous utilisons le critère des côtés opposés.

Nous avons calculé :

$$
\vec{AB} = B-A = (4,\,-2),
$$
$$
\vec{CD} = D-C = (-4,\;2) = -\vec{AB}.
$$

Ainsi, $$ \vec{CD} $$ est colinéaire à $$ \vec{AB} $$ et de même norme, donc $$ AB \parallel CD $$ et $$ AB = CD $$.

De plus,

$$
\vec{BC} = C-B = (-3,-4),
$$
$$
\vec{DA} = A-D = (3,\,4) = -\vec{BC}.
$$

Donc, $$ BC \parallel DA $$ et $$ BC = DA $$.

Les deux paires de côtés opposés du quadrilatère sont parallèles et de même longueur, ce qui implique que :

$$
\text{Le quadrilatère } ABCD \text{ est un parallélogramme.}
$$
**a) Construction de la figure et conjecture** On place les points dans le plan avec un repère orthonormé. - $$ A(-2,4) $$ - $$ B(2,2) $$ - $$ C(-1,-2) $$ - $$ D(-5,0) $$ On relie ces points pour former le quadrilatère $$ ABCD $$. **Conjecture :** Le quadrilatère $$ ABCD $$ est un parallélogramme. **b) Démonstration** Les côtés opposés sont parallèles et de même longueur : - $$ AB \parallel CD $$ et $$ AB = CD $$ - $$ BC \parallel DA $$ et $$ BC = DA $$ Donc, $$ ABCD $$ est un parallélogramme.

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