18 Dans le plan complexe muni d'un repère ortho- normé direct ( \( 0 ; \vec{u}, \vec{v} \) ), on considère les points \( A, B \) et \( C \) d'affixes respectives: \( z_{A}=-2+4 i ; z_{B}=2+2 i ; z_{C}=-1-2 i \) et \( z_{D}=-5 \). a) Faire une figure. Que peut-on conjecturer quant à la nature du quadrilatère ABCD? b) Démontrer cette conjecture.

\[ \begin{array}{rcl} z_A &=& -2 + 4i \quad \text{donc } A(-2,4),\\[1mm] z_B &=& 2 + 2i \quad \text{donc } B(2,2),\\[1mm] z_C &=& -1 - 2i \quad \text{donc } C(-1,-2),\\[1mm] z_D &=& -5 \quad \text{donc } D(-5,0). \end{array} \] **a) Construction de la figure et conjecture** On place les points dans le plan muni d’un repère orthonormé. - Pour \( A(-2,4) \) et \( B(2,2) \), le segment \( AB \) va de \((-2,4)\) à \((2,2)\). - Pour \( C(-1,-2) \) et \( D(-5,0) \), on relie les points pour former le quadrilatère \( ABCD \) (en reliant dans l’ordre \( A \to B \to C \to D \to A \)). On calcule les vecteurs représentant les côtés : \[ \vec{AB} = B-A = \bigl[(2-(-2)),\, (2-4)\bigr] = (4,\,-2). \] \[ \vec{BC} = C-B = \bigl[(-1-2),\, (-2-2)\bigr] = (-3,\,-4). \] \[ \vec{CD} = D-C = \bigl[(-5-(-1)),\, (0-(-2))\bigr] = (-4,\,2). \] \[ \vec{DA} = A-D = \bigl[(-2-(-5)),\, (4-0)\bigr] = (3,\,4). \] On observe que : \[ \vec{AB} = (4,\,-2) \quad \text{et} \quad -\vec{CD} = (4,\,-2), \] \[ \vec{BC} = (-3,-4) \quad \text{et} \quad -\vec{DA} = (-3,-4). \] Ainsi, les côtés opposés sont égaux et parallèles. **Conjecture :** Le quadrilatère \( ABCD \) est un parallélogramme. **b) Démonstration** Pour démontrer que \( ABCD \) est un parallélogramme, il suffit de montrer qu'un des critères suivants est réalisé : 1. Les côtés opposés sont parallèles. 2. Les diagonales se coupent en leur milieu. Ici, nous utilisons le critère des côtés opposés. Nous avons calculé : \[ \vec{AB} = B-A = (4,\,-2), \] \[ \vec{CD} = D-C = (-4,\;2) = -\vec{AB}. \] Ainsi, \( \vec{CD} \) est colinéaire à \( \vec{AB} \) et de même norme, donc \( AB \parallel CD \) et \( AB = CD \). De plus, \[ \vec{BC} = C-B = (-3,-4), \] \[ \vec{DA} = A-D = (3,\,4) = -\vec{BC}. \] Donc, \( BC \parallel DA \) et \( BC = DA \). Les deux paires de côtés opposés du quadrilatère sont parallèles et de même longueur, ce qui implique que : \[ \text{Le quadrilatère } ABCD \text{ est un parallélogramme.} \]