Calcula la integral doble \( \int_{0}^{1} \int_{0}^{2}\left(x+2 y^{2}\right) d x d y \)

Para calcular la integral doble \( \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} \left(x + 2y^{2}\right) dx dy \), comenzamos integrando primero con respecto a \(x\): 1. Integramos \(x\): \[ \int_0^2 (x + 2y^2) \, dx = \left[\frac{x^2}{2} + 2y^2 x\right]_{0}^{2} = \left[\frac{2^2}{2} + 2y^2(2)\right] - \left[\frac{0^2}{2} + 2y^2(0)\right] = \left[2 + 4y^2\right] - 0 = 2 + 4y^2. \] 2. Ahora, integramos el resultado anterior con respecto a \(y\): \[ \int_0^1 (2 + 4y^2) \, dy = \left[2y + \frac{4y^3}{3}\right]_{0}^{1} = \left[2(1) + \frac{4(1)^3}{3}\right] - \left[2(0) + \frac{4(0)^3}{3}\right] = 2 + \frac{4}{3} = 2 + 1.33 = \frac{6}{3} + \frac{4}{3} = \frac{10}{3}. \] Por lo tanto, el resultado de la integral doble es: \[ \frac{10}{3}. \]