Calcula la integral doble \( \int_{0}^{1} \int_{0}^{2}\left(x+2 y^{2}\right) d x d y \)

1. Calcular la integral interna respecto a \( x \): \[ \int_{0}^{2}\left(x+2 y^{2}\right)dx = \left[\frac{x^{2}}{2} + 2 y^{2} x\right]_{0}^{2}. \] Evaluamos en los extremos: \[ = \left(\frac{2^{2}}{2} + 2 y^{2} \cdot 2\right) - \left(\frac{0^{2}}{2} + 2 y^{2} \cdot 0\right) = \frac{4}{2} + 4y^{2} = 2 + 4y^{2}. \] 2. Calcular la integral externa respecto a \( y \): \[ \int_{0}^{1}\left(2+4y^{2}\right)dy = \left[2y+\frac{4y^{3}}{3}\right]_{0}^{1}. \] Evaluamos en los extremos: \[ = \left(2\cdot 1+\frac{4\cdot 1^{3}}{3}\right) - \left(2\cdot 0+\frac{4\cdot 0^{3}}{3}\right) = 2+\frac{4}{3}. \] Simplificando: \[ 2+\frac{4}{3}=\frac{6}{3}+\frac{4}{3}=\frac{10}{3}. \] La integral doble vale, por lo tanto, \(\frac{10}{3}\).