239 cecorin charico Calcola l'area colorata nella figura, delimitata dalle parabole di equazionit $$ y=x^{2}-3 x $$ e $$ y=6 x-2 x^{2} $$,

Question

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Per calcolare l'area colorata delimitata dalle parabole $$ y = x^{2} - 3x $$ e $$ y = 6x - 2x^{2} $$, seguiamo i seguenti passaggi:

1. **Determinare i punti di intersezione delle parabole:**

Uguagliamo le due equazioni:
   $$
   x^{2} - 3x = 6x - 2x^{2}
   $$
   
   Riorganizziamo i termini:
   $$
   x^{2} + 2x^{2} - 3x - 6x = 0 \implies 3x^{2} - 9x = 0
   $$
   
   Fattorizziamo:
   $$
   3x(x - 3) = 0
   $$
   
   Quindi, i punti di intersezione si trovano per $$ x = 0 $$ e $$ x = 3 $$.

2. **Determinare quale parabola è superiore nell'intervallo [0, 3]:**

Scegliamo un valore di $$ x $$ nell'intervallo, ad esempio $$ x = 1 $$:
   
   $$
   y_1 = (1)^2 - 3(1) = 1 - 3 = -2
   $$
   $$
   y_2 = 6(1) - 2(1)^2 = 6 - 2 = 4
   $$
   
   Poiché $$ y_2 > y_1 $$ nell'intervallo considerato, la parabola $$ y = 6x - 2x^{2} $$ è superiore a $$ y = x^{2} - 3x $$.

3. **Calcolare l'area compresa tra le parabole:**

L'area $$ A $$ è data dall'integrale della differenza delle funzioni superiori e inferiori nell'intervallo [0, 3]:
   
   $$
   A = \int_{0}^{3} \left( (6x - 2x^{2}) - (x^{2} - 3x) \right) dx = \int_{0}^{3} (9x - 3x^{2}) dx
   $$
   
   Calcoliamo l'integrale:
   
   $$
   \int (9x - 3x^{2}) dx = \frac{9}{2}x^{2} - x^{3} + C
   $$
   
   Valutiamo da 0 a 3:
   
   $$
   A = \left[ \frac{9}{2}(3)^2 - (3)^3 \right] - \left[ \frac{9}{2}(0)^2 - (0)^3 \right] = \frac{81}{2} - 27 = \frac{81 - 54}{2} = \frac{27}{2}
   $$
   
   Quindi, l'area colorata è:
   
   $$
   A = \frac{27}{2} \text{ unità quadrate}
   $$
L'area colorata delimitata dalle parabole $$ y = x^{2} - 3x $$ e $$ y = 6x - 2x^{2} $$ nell'intervallo [0, 3] è $$ \frac{27}{2} $$ unità quadrate.

239 cecorin charico Calcola l'area colorata nella figura, delimitata dalle parabole di equazionit \( y=x^{2}-3 x \) e \( y=6 x-2 x^{2} \),

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