Bir karta 144 sayısının asal çarpan sayısına eşit olacak şekilde başka bir doğal sayı yazılacağına göre bu karta aşağıdakilerden hangisi yazılamaz? \( \begin{array}{llll}\text { A) } 200 & \text { B) } 225 & \text { C) } 242 & \text { D) } 360\end{array} \)

144 sayısının asal çarpanlara ayrılmasına bakalım. 144 = 2⁴ × 3² olduğundan, 144’ün iki tane farklı asal çarpanı vardır: 2 ve 3. Verilen şart, karttaki başka bir doğal sayının da asal çarpan sayısının (yani farklı asal çarpan sayısının) 144 ile aynı olmasını gerektirir. Yani kartta yazılacak sayı, tam olarak 2 farklı asal çarpana sahip olmalıdır. Şimdi seçenekleri inceleyelim: A) 200 200 = 2³ × 5² → Asal çarpanlar: 2 ve 5 (2 tane) B) 225 225 = 3² × 5² → Asal çarpanlar: 3 ve 5 (2 tane) C) 242 242 = 2 × 121 = 2 × 11² → Asal çarpanlar: 2 ve 11 (2 tane) D) 360 360 = 2³ × 3² × 5 → Asal çarpanlar: 2, 3 ve 5 (3 tane) Görüldüğü üzere, D seçeneği olan 360, 3 farklı asal çarpana sahip olduğu için 144’ün asal çarpan sayısı olan 2’ye eşit değildir. Sonuç olarak, karta 360 yazılamaz.