Dada la ecuación definida implicitamente: \( 15 \cdot x^{3} \cdot y^{4}-45 \cdot x^{3} \cdot y^{3}+3 \cdot x \cdot y^{3}=0 \) Entonces, \( \frac{d y}{d x}= \) Respuesta:

Soit l'équation implicite \[ 15x^3y^4 - 45x^3y^3 + 3xy^3=0. \] Nous allons différencier chaque terme par rapport à \( x \). 1. Pour le premier terme, \( 15x^3y^4 \) : \[ \frac{d}{dx}\left(15x^3y^4\right) = 15\left(3x^2y^4 + x^3\cdot4y^3\frac{dy}{dx}\right) = 45x^2y^4 + 60x^3y^3\frac{dy}{dx}. \] 2. Pour le deuxième terme, \( -45x^3y^3 \) : \[ \frac{d}{dx}\left(-45x^3y^3\right) = -45\left(3x^2y^3 + x^3\cdot3y^2\frac{dy}{dx}\right) = -135x^2y^3 - 135x^3y^2\frac{dy}{dx}. \] 3. Pour le troisième terme, \( 3xy^3 \) : \[ \frac{d}{dx}\left(3xy^3\right) = 3\left(y^3 + x\cdot3y^2\frac{dy}{dx}\right) = 3y^3 + 9xy^2\frac{dy}{dx}. \] En réunissant ces résultats, nous obtenons : \[ 45x^2y^4 + 60x^3y^3\frac{dy}{dx} - 135x^2y^3 - 135x^3y^2\frac{dy}{dx} + 3y^3 + 9xy^2\frac{dy}{dx} = 0. \] Nous regroupons les termes contenant \(\frac{dy}{dx}\) et les termes sans \(\frac{dy}{dx}\) : \[ \left(60x^3y^3 - 135x^3y^2 + 9xy^2\right)\frac{dy}{dx} + \left(45x^2y^4 - 135x^2y^3 + 3y^3\right) = 0. \] Isolons les termes en \(\frac{dy}{dx}\) : \[ \left(60x^3y^3 - 135x^3y^2 + 9xy^2\right)\frac{dy}{dx} = -\left(45x^2y^4 - 135x^2y^3 + 3y^3\right). \] Divisons ensuite par le coefficient de \(\frac{dy}{dx}\) pour isoler la dérivée : \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{45x^2y^4 - 135x^2y^3 + 3y^3}{60x^3y^3 - 135x^3y^2 + 9xy^2}. \] Nous pouvons simplifier en factorisant par \( 3y^3 \) dans le numérateur et par \( 3xy^2 \) dans le dénominateur : - Numérateur : \[ 45x^2y^4 - 135x^2y^3 + 3y^3 = 3y^3\left(15x^2y - 45x^2 + 1\right). \] - Dénominateur : \[ 60x^3y^3 - 135x^3y^2 + 9xy^2 = 3xy^2\left(20x^2y - 45x^2 + 3\right). \] Ainsi, la dérivée devient : \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{3y^3\left(15x^2y - 45x^2 + 1\right)}{3xy^2\left(20x^2y - 45x^2 + 3\right)} = -\frac{y\left(15x^2y - 45x^2 + 1\right)}{x\left(20x^2y - 45x^2 + 3\right)}. \] La dérivée de \( y \) par rapport à \( x \) est donc : \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{y\left(15x^2y - 45x^2 + 1\right)}{x\left(20x^2y - 45x^2 + 3\right)}. \]