Dada la función \( f(x)=-4 \cdot x^{3}-12 \cdot x^{2} \) Determina lo que se te pide, escribe lo que se te pide entre llaves, ya otra que cierra), o bien utiliza la notación de intervalos abiertos o cer Respuesta: \( x \) de Puntos críticos \( = \) \( x \) de Máximos relativos = \( \square \) \( x \) de Mínimos relativos = \( \square \) Intervalos de crecimiento \( = \) \( \qquad \) Intervalos de decrecimiento = \( \square \) \( x \) de puntos de inflexión \( = \) \( \qquad \) Intervalos de concavidad positiva = \( \square \) intervalos de concavidad negativa = \( \square \)

\( f(x) = -4x^3 - 12x^2 \) 1. Calcul de la dérivée première pour trouver les points critiques : \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-4x^3) + \frac{d}{dx}(-12x^2) = -12x^2 - 24x = -12x(x+2) \] Les points critiques se trouvent en résolvant \( f'(x)=0 \) : \[ -12x(x+2) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \quad \text{ou} \quad x = -2 \] 2. Classification des points critiques avec la dérivée seconde : Calcul de la dérivée seconde : \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(-12x^2 - 24x) = -24x - 24 = -24(x+1) \] - Pour \( x = 0 \) : \[ f''(0) = -24(0+1) = -24 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{maximum relatif en } x=0 \] - Pour \( x = -2 \) : \[ f''(-2) = -24(-2+1) = -24(-1)= 24 > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{minimum relatif en } x=-2 \] 3. Détermination des intervalles de croissance et décroissance : Les points critiques divisent la droite réelle en trois intervalles : \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 0) \) et \( (0, \infty) \). - Pour \( x < -2 \) (par exemple \( x = -3 \)) : \[ f'(-3) = -12(-3)(-3+2) = 36 \cdot (-1) = -36 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{fonction décroissante} \] - Pour \( -2 < x < 0 \) (par exemple \( x = -1 \)) : \[ f'(-1) = -12(-1)(-1+2) = 12 \cdot 1 = 12 > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{fonction croissante} \] - Pour \( x > 0 \) (par exemple \( x = 1 \)) : \[ f'(1) = -12(1)(1+2) = -12 \cdot 3 = -36 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{fonction décroissante} \] 4. Calcul des points d’inflexion et intervalles de concavité : Les points d’inflexion se trouvent en annulant la dérivée seconde \( f''(x)=0 \) : \[ -24(x+1)=0 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \] Vérifions le changement de concavité : - Pour \( x < -1 \) (par exemple \( x = -2 \)) : \[ f''(-2) = -24(-2+1)= 24 > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{concavité positive} \] - Pour \( x > -1 \) (par exemple \( x = 0 \)) : \[ f''(0) = -24(0+1)= -24 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{concavité négative} \] Synthèse de la réponse : \( x \) des points critiques \( = \{ -2,\, 0 \} \) \( x \) des maximums relatifs \( = \{ 0 \} \) \( x \) des minimums relatifs \( = \{ -2 \} \) Intervalles de croissance \( = (-2,\,0) \) Intervalles de décroissance \( = (-\infty,\,-2) \cup (0,\,\infty) \) \( x \) des points d'inflexion \( = \{ -1 \} \) Intervalles de concavité positive \( = (-\infty,\,-1) \) Intervalles de concavité négative \( = (-1,\,\infty) \)