Câu 11. (KTNL GV Lý Thái Tổ 2019) Cho hai mặt phẳng $$ (\alpha): 3 x-2 y+2 z+7=0,(\beta): 5 x-4 y+3 z+1=0 $$. Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ $$ O $$ đồng thời vuông góc với cả $$ (\alpha) $$ và $$ (\beta) $$ là: $$ \begin{array}{llll} ext { A. } 2 x-y-2 z=0 . & ext { B. } 2 x-y+2 z=0 . & ext { C. } 2 x+y-2 z=0 . & ext { D. } 2 x+y-2 z+1=0\end{array} $$

Question

Câu 11. (KTNL GV Lý Thái Tổ 2019) Cho hai mặt phẳng $$ (\alpha): 3 x-2 y+2 z+7=0,(\beta): 5 x-4 y+3 z+1=0 $$. Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ $$ O $$ đồng thời vuông góc với cả $$ (\alpha) $$ và $$ (\beta) $$ là: $$ \begin{array}{llll}	ext { A. } 2 x-y-2 z=0 . & 	ext { B. } 2 x-y+2 z=0 . & 	ext { C. } 2 x+y-2 z=0 . & 	ext { D. } 2 x+y-2 z+1=0\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ $$ O(0, 0, 0) $$ và vuông góc với hai mặt phẳng $$ (\alpha) $$ và $$ (\beta) $$, ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định vector pháp tuyến của các mặt phẳng**:
   - Mặt phẳng $$ (\alpha): 3x - 2y + 2z + 7 = 0 $$ có vector pháp tuyến là $$ \vec{n_1} = (3, -2, 2) $$.
   - Mặt phẳng $$ (\beta): 5x - 4y + 3z + 1 = 0 $$ có vector pháp tuyến là $$ \vec{n_2} = (5, -4, 3) $$.

2. **Tính tích có hướng của hai vector pháp tuyến**:
   - Vector pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm sẽ là tích có hướng của $$ \vec{n_1} $$ và $$ \vec{n_2} $$:
   $$
   \vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}
   $$

3. **Tính toán tích có hướng**:
   $$
   \vec{n} = \begin{vmatrix}
   \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
   3 & -2 & 2 \
   5 & -4 & 3
   \end{vmatrix}
   $$

Tính toán định thức:
   $$
   \vec{n} = \hat{i}((-2) \cdot 3 - 2 \cdot (-4)) - \hat{j}(3 \cdot 3 - 2 \cdot 5) + \hat{k}(3 \cdot (-4) - (-2) \cdot 5)
   $$
   $$
   = \hat{i}(-6 + 8) - \hat{j}(9 - 10) + \hat{k}(-12 + 10)
   $$
   $$
   = \hat{i}(2) - \hat{j}(-1) + \hat{k}(-2)
   $$
   $$
   = (2, 1, -2)
   $$

4. **Viết phương trình mặt phẳng**:
   Phương trình mặt phẳng có dạng:
   $$
   2x + 1y - 2z + d = 0
   $$
   Vì mặt phẳng đi qua gốc tọa độ $$ O(0, 0, 0) $$, ta có $$ d = 0 $$. Vậy phương trình mặt phẳng là:
   $$
   2x + y - 2z = 0
   $$

5. **So sánh với các đáp án**:
   - A. $$ 2x - y - 2z = 0 $$
   - B. $$ 2x - y + 2z = 0 $$
   - C. $$ 2x + y - 2z = 0 $$ (đúng)
   - D. $$ 2x + y - 2z + 1 = 0 $$

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:
$$
\text{C. } 2x + y - 2z = 0
$$
Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ $$ O $$ và vuông góc với cả $$ (\alpha) $$ và $$ (\beta) $$ là $$ 2x + y - 2z = 0 $$.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Extra Insights

Related Questions

Latest Geometry Questions