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Determine el término independiente y la suma de coeficientes del polinomio \[ \mathrm{P}(x)=(x-1)^{20}+(x+2)^{2}(x+1)^{3} \]

Ask by Mcguire Parry. in Peru
Mar 17,2025

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El término independiente del polinomio es 5, y la suma de sus coeficientes es 72.

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Para determinar el término independiente del polinomio \( P(x) = (x-1)^{20} + (x+2)^{2}(x+1)^{3} \), evaluamos ambos términos por separado. 1. **Término independiente de \( (x-1)^{20} \)**: El término independiente de \( (x-1)^{20} \) se obtiene al evaluar el polinomio en \( x = 0 \): \[ (0-1)^{20} = (-1)^{20} = 1 \] 2. **Término independiente de \( (x+2)^{2}(x+1)^{3} \)**: Para encontrar su término independiente, evaluamos cuando \( x = -2 \) y \( x = -1 \) respectivamente: - Primero, el término independiente de \( (x+2)^{2} \): \[ (-2 + 2)^{2} = 0^{2} = 0 \] - Y el término independiente de \( (x+1)^{3} \): \[ (-1 + 1)^{3} = 0^{3} = 0 \] Por lo tanto, el término independiente del producto \( (x+2)^{2}(x+1)^{3} \) es \( 0 \). Sumando ambos términos independientes: \[ \text{Término independiente de } P(x) = 1 + 0 = 1 \] Ahora, para calcular la suma de los coeficientes de \( P(x) \), evaluamos \( P(1) \): \[ P(1) = (1-1)^{20} + (1+2)^{2}(1+1)^{3} \] \[ = 0^{20} + 3^{2} \cdot 2^{3} = 0 + 9 \cdot 8 = 72 \] En resumen, el término independiente es \( 1 \) y la suma de los coeficientes es \( 72 \).

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