En los Ejercicios 37 a 40 , determine por medio de las pendientes, si los puntos son colineales. 37. (a) $$ (2,3),(-4,-7),(5,8) $$; (b) $$ (2,-1),(1,1),(3,4) $$ 38. (a) $$ (4,6),(1,2),(-5,-4) $$; (b) $$ (-3,6),(3,2),(9,-2) $$ 39. (a) $$ (2,5),(-1,4),(3,-2) $$; (b) $$ (0,2),(-3,-1),(4,6) $$ 10. (a) $$ (-1,2),(7,4),(2,-1) $$; (b) $$ (4,-9),(4,1),(4,8) $$

Question

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Para determinar si los puntos son colineales, podemos calcular la pendiente entre cada par de puntos. Si las pendientes son iguales, los puntos son colineales.

La fórmula para calcular la pendiente $$ m $$ entre dos puntos $$ (x_1, y_1) $$ y $$ (x_2, y_2) $$ es:

$$
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
$$

Ahora, procederemos a calcular las pendientes para cada conjunto de puntos.

### Ejercicio 37

#### (a) $$ (2,3),(-4,-7),(5,8) $$

1. Calcular la pendiente entre $$ (2,3) $$ y $$ (-4,-7) $$:
   $$
   m_1 = \frac{-7 - 3}{-4 - 2} = \frac{-10}{-6} = \frac{5}{3}
   $$

2. Calcular la pendiente entre $$ (-4,-7) $$ y $$ (5,8) $$:
   $$
   m_2 = \frac{8 - (-7)}{5 - (-4)} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}
   $$

3. Calcular la pendiente entre $$ (2,3) $$ y $$ (5,8) $$:
   $$
   m_3 = \frac{8 - 3}{5 - 2} = \frac{5}{3}
   $$

Las pendientes son iguales $$ m_1 = m_2 = m_3 = \frac{5}{3} $$, por lo tanto, los puntos son colineales.

#### (b) $$ (2,-1),(1,1),(3,4) $$

1. Calcular la pendiente entre $$ (2,-1) $$ y $$ (1,1) $$:
   $$
   m_1 = \frac{1 - (-1)}{1 - 2} = \frac{2}{-1} = -2
   $$

2. Calcular la pendiente entre $$ (1,1) $$ y $$ (3,4) $$:
   $$
   m_2 = \frac{4 - 1}{3 - 1} = \frac{3}{2}
   $$

3. Calcular la pendiente entre $$ (2,-1) $$ y $$ (3,4) $$:
   $$
   m_3 = \frac{4 - (-1)}{3 - 2} = \frac{5}{1} = 5
   $$

Las pendientes son diferentes $$ m_1 = -2 $$, $$ m_2 = \frac{3}{2} $$, $$ m_3 = 5 $$, por lo tanto, los puntos no son colineales.

### Ejercicio 38

#### (a) $$ (4,6),(1,2),(-5,-4) $$

1. Calcular la pendiente entre $$ (4,6) $$ y $$ (1,2) $$:
   $$
   m_1 = \frac{2 - 6}{1 - 4} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}
   $$

2. Calcular la pendiente entre $$ (1,2) $$ y $$ (-5,-4) $$:
   $$
   m_2 = \frac{-4 - 2}{-5 - 1} = \frac{-6}{-6} = 1
   $$

3. Calcular la pendiente entre $$ (4,6) $$ y $$ (-5,-4) $$:
   $$
   m_3 = \frac{-4 - 6}{-5 - 4} = \frac{-10}{-9} = \frac{10}{9}
   $$

Las pendientes son diferentes $$ m_1 = \frac{4}{3} $$, $$ m_2 = 1 $$, $$ m_3 = \frac{10}{9} $$, por lo tanto, los puntos no son colineales.

#### (b) $$ (-3,6),(3,2),(9,-2) $$

1. Calcular la pendiente entre $$ (-3,6) $$ y $$ (3,2) $$:
   $$
   m_1 = \frac{2 - 6}{3 - (-3)} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}
   $$

2. Calcular la pendiente entre $$ (3,2) $$ y $$ (9,-2) $$:
   $$
   m_2 = \frac{-2 - 2}{9 - 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}
   $$

3. Calcular la pendiente entre $$ (-3,6) $$ y $$ (9,-2) $$:
   $$
   m_3 = \frac{-2 - 6}{9 - (-3)} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}
   $$

Las pendientes son iguales $$ m_1 = m_2 = m_3 = -\frac{2}{3} $$, por lo tanto, los puntos son colineales.

### Ejercicio 39

#### (a) $$ (2,5),(-1,4),(3,-2) $$

1. Calcular la pendiente entre $$ (2,5) $$ y $$ (-1,4) $$:
   $$
   m_1 = \frac{4 - 5}{-1 - 2} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}
   $$

2. Calcular la pendiente entre $$ (-1,4) $$ y $$ (3,-2) $$:
   $$
   m_2 = \frac{-2 - 4}{3 - (-1)} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}
   $$

3. Calcular la pendiente entre $$ (2,5) $$ y $$ (3,-2) $$:
   $$
   m_3 = \frac{-2 - 5}{3 - 2} = \frac{-7}{1} = -7
   $$

Las pendientes son diferentes $$ m_1 = \frac{1}{3} $$, $$ m_2 = -\frac{3}{2} $$, $$ m_3 = -7 $$, por lo tanto, los puntos no son colineales.

#### (b) $$ (0,2),(-3,-1),(4,6) $$

1. Calcular la pendiente entre $$ (0,2) $$ y $$ (-3,-1) $$:
   $$
   m_1 = \frac{-1 - 2}{-3 - 0} = \frac{-3}{-3} = 1
   $$

2. Calcular la pendiente entre $$
Los puntos en cada conjunto son colineales si las pendientes entre todos los pares de puntos son iguales. - **Ejercicio 37 (a):** Los puntos $$ (2,3) $$, $$ (-4,-7) $$, y $$ (5,8) $$ son colineales. - **Ejercicio 37 (b):** Los puntos $$ (2,-1) $$, $$ (1,1) $$, y $$ (3,4) $$ no son colineales. - **Ejercicio 38 (a):** Los puntos $$ (4,6) $$, $$ (1,2) $$, y $$ (-5,-4) $$ no son colineales. - **Ejercicio 38 (b):** Los puntos $$ (-3,6) $$, $$ (3,2) $$, y $$ (9,-2) $$ son colineales. - **Ejercicio 39 (a):** Los puntos $$ (2,5) $$, $$ (-1,4) $$, y $$ (3,-2) $$ no son colineales. - **Ejercicio 39 (b):** Los puntos $$ (0,2) $$, $$ (-3,-1) $$, y $$ (4,6) $$ son colineales. - **Ejercicio 10 (a):** Los puntos $$ (-1,2) $$, $$ (7,4) $$, y $$ (2,-1) $$ no son colineales. - **Ejercicio 10 (b):** Los puntos $$ (4,-9) $$, $$ (4,1) $$, y $$ (4,8) $$ son colineales.

En los Ejercicios 37 a 40 , determine por medio de
las pendientes, si los puntos son colineales.
37. (a) ;
(b)
38. (a) ;
(b)
39. (a) ;
(b)
10. (a) ;
(b)

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En los Ejercicios 37 a 40 , determine por medio de las pendientes, si los puntos son colineales. 37. (a) ; (b) 38. (a) ; (b) 39. (a) ; (b) 10. (a) ; (b)