Determine el término independiente y la suma de coeficientes del polinomio $$ \mathrm{P}(x)=(x-1)^{20}+(x+2)^{2}(x+1)^{3} $$

Question

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Para determinar el término independiente y la suma de coeficientes del polinomio

$$
\mathrm{P}(x)=(x-1)^{20}+(x+2)^{2}(x+1)^{3},
$$

seguiremos los siguientes pasos:

### Paso 1: Encontrar el término independiente

El término independiente de un polinomio es el término que no contiene la variable $$x$$. Para encontrarlo, evaluaremos $$P(0)$$.

1. **Evaluar $$(x-1)^{20}$$ en $$x=0$$**:
   $$
   (0-1)^{20} = (-1)^{20} = 1.
   $$

2. **Evaluar $$(x+2)^{2}(x+1)^{3}$$ en $$x=0$$**:
   $$
   (0+2)^{2}(0+1)^{3} = 2^{2} \cdot 1^{3} = 4 \cdot 1 = 4.
   $$

3. **Sumar ambos resultados**:
   $$
   P(0) = 1 + 4 = 5.
   $$

Por lo tanto, el término independiente de $$P(x)$$ es $$5$$.

### Paso 2: Encontrar la suma de coeficientes

La suma de los coeficientes de un polinomio se obtiene evaluando el polinomio en $$x=1$$.

1. **Evaluar $$(x-1)^{20}$$ en $$x=1$$**:
   $$
   (1-1)^{20} = 0^{20} = 0.
   $$

2. **Evaluar $$(x+2)^{2}(x+1)^{3}$$ en $$x=1$$**:
   $$
   (1+2)^{2}(1+1)^{3} = 3^{2} \cdot 2^{3} = 9 \cdot 8 = 72.
   $$

3. **Sumar ambos resultados**:
   $$
   P(1) = 0 + 72 = 72.
   $$

Por lo tanto, la suma de los coeficientes de $$P(x)$$ es $$72$$.

### Resumen de resultados

- Término independiente: $$5$$
- Suma de coeficientes: $$72$$
El término independiente del polinomio es 5, y la suma de sus coeficientes es 72.

Determine el término independiente y la suma de coeficientes del polinomio \[ \mathrm{P}(x)=(x-1)^{20}+(x+2)^{2}(x+1)^{3} \]