Dado el campo vectorial \( \vec{F}=(2 y-z) i+(3 x+1) j+(x y) \boldsymbol{k} \) ¿cuál es el rotacional \( \nabla \times F ? \)

El rotacional de un campo vectorial \(\vec{F} = P \hat{i} + Q \hat{j} + R \hat{k}\) se calcula usando la siguiente fórmula: \[ \nabla \times \vec{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) \hat{i} - \left( \frac{\partial R}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial z} \right) \hat{j} + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \hat{k} \] Aplicando esto a tu campo vectorial: \(P = 2y - z\), \(Q = 3x + 1\), \(R = xy\). Ahora calculamos: \(\frac{\partial R}{\partial y} = x\), \(\frac{\partial Q}{\partial z} = 0\), \(\frac{\partial R}{\partial x} = y\), \(\frac{\partial P}{\partial z} = -1\), \(\frac{\partial Q}{\partial x} = 3\), \(\frac{\partial P}{\partial y} = 2\). Sustituyendo en la fórmula: \[ \nabla \times \vec{F} = \left(x - 0\right) \hat{i} - \left(y - (-1)\right) \hat{j} + \left(3 - 2\right) \hat{k} = x \hat{i} - (y + 1) \hat{j} + 1 \hat{k} \] Por lo tanto, el rotacional es: \[ \nabla \times \vec{F} = x \hat{i} - (y + 1) \hat{j} + \hat{k} \]