Question
upstudy study bank question image url

Група: A 1. Нека тачке \( A \) и \( B \) припадају симетрали угла \( P O Q \), при чему јс \( O P=O Q \). Докажи да је \( \angle A P B=\angle A Q B \).

Ask by Valdez Chadwick. in Bosnia and Herzegovina
Feb 24,2025

Upstudy AI Solution

Tutor-Verified Answer

Answer

Доказимо да је угао ∠APB једнак угалу ∠AQB користећи симетрију у односу на бисектрису угла P O Q. 1. Тачке A и B су на симетровим правцима угла P O Q, тако да постоји рефлексија φ која пребацива A у B и P у Q. 2. Применом φ на троугао OAP добијамо троугао OBQ. 3. Симетрија φ сачува углове, тако да је ∠APB једнак ∠BQO, што се идентификује са ∠AQB. 4. Стога, ∠APB = ∠AQB.

Solution

Доказиваћемо да је угао ∠APB једнакав углу ∠AQB користећи симетрију у односу на бисектрису угла P O Q. 1. Заметимо да су дате тачке A и B смештене на симетровим правцима угла P O Q. То значи да постоји рефлексија (симетрија) φ у односу на бисектрису тог угла тако да се тачка A пребацује у тачку B, док се истовремено замијецају и стране угла – односно, φ прати стреле угла: φ(P) = Q и φ(Q) = P. 2. Пошто јеу P и Q симетричне у односу на бисектрису, а услов је да је OP = OQ, приступимо треугловима:   • Размотримо троугао OAP.   • Примена рефлексије φ на троугао OAP добија се троугао OBQ (јер: φ(O) = O, φ(P) = Q и φ(A) = B). 3. С обзиром да рефлексија чува мере углова, закључујемо да је угао ∠APB, који се налази у току трансформације (примењујући φ, како тачке A и P постају B и Q респективно), сличан угаону ∠BQO или прецизније ∠AQB. Још тачније, јер φ сачува углове, добијамо:   ∠APB = ∠(φ(A) φ(P) φ(B)) = ∠BQO. Али, погодно распоредом тачака, тај угао се идентификује са ∠AQB. 4. Стога, по својству симетрије, добијамо:   ∠APB = ∠AQB. Овим смо доказали да, под датим условима (да A и B припадају симетрали угла P O Q и да је OP = OQ), угао APB заиста једнак углу AQB.

Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor

error msg
Explain
Simplify this solution

Mind Expander

Када су тачке \( A \) и \( B \) симетралне у односу на угао \( P O Q \), тада важи да су дужи \( O A \) и \( O B \) једнаке (пошто је \( O \) центар симетрије). Према томе, \( \triangle OAP \) и \( \triangle OBQ \) су конгруентни, што значи да су углови \( \angle OAP \) и \( \angle OBQ \) једнаки. Важно је да углови \( \angle A P B \) и \( \angle A Q B \) закључују на истим правцима и разликују се само по томе што су симетрични, па ће бити \( \angle A P B = \angle A Q B \). Користећи исте принципе о симетрији и конгруенцији, можемо показати да равнотежа дужи и углова осигурава да су ови углови равноправни. На тај начин, доказали смо да су углови R \( \angle A P B \) и \( \angle A Q B \) исти, уз помоћ својства симетрије.

Related Questions

Latest Geometry Questions

Try Premium now!
Try Premium and ask Thoth AI unlimited math questions now!
Maybe later Go Premium
Study can be a real struggle
Why not UpStudy it?
Select your plan below
Premium

You can enjoy

Start now
  • Step-by-step explanations
  • 24/7 expert live tutors
  • Unlimited number of questions
  • No interruptions
  • Full access to Answer and Solution
  • Full Access to PDF Chat, UpStudy Chat, Browsing Chat
Basic

Totally free but limited

  • Limited Solution
Welcome to UpStudy!
Please sign in to continue the Thoth AI Chat journey
Continue with Email
Or continue with
By clicking “Sign in”, you agree to our Terms of Use & Privacy Policy