Група: A 1. Нека тачке \( A \) и \( B \) припадају симетрали угла \( P O Q \), при чему јс \( O P=O Q \). Докажи да је \( \angle A P B=\angle A Q B \).

Доказиваћемо да је угао ∠APB једнакав углу ∠AQB користећи симетрију у односу на бисектрису угла P O Q. 1. Заметимо да су дате тачке A и B смештене на симетровим правцима угла P O Q. То значи да постоји рефлексија (симетрија) φ у односу на бисектрису тог угла тако да се тачка A пребацује у тачку B, док се истовремено замијецају и стране угла – односно, φ прати стреле угла: φ(P) = Q и φ(Q) = P. 2. Пошто јеу P и Q симетричне у односу на бисектрису, а услов је да је OP = OQ, приступимо треугловима:   • Размотримо троугао OAP.   • Примена рефлексије φ на троугао OAP добија се троугао OBQ (јер: φ(O) = O, φ(P) = Q и φ(A) = B). 3. С обзиром да рефлексија чува мере углова, закључујемо да је угао ∠APB, који се налази у току трансформације (примењујући φ, како тачке A и P постају B и Q респективно), сличан угаону ∠BQO или прецизније ∠AQB. Још тачније, јер φ сачува углове, добијамо:   ∠APB = ∠(φ(A) φ(P) φ(B)) = ∠BQO. Али, погодно распоредом тачака, тај угао се идентификује са ∠AQB. 4. Стога, по својству симетрије, добијамо:   ∠APB = ∠AQB. Овим смо доказали да, под датим условима (да A и B припадају симетрали угла P O Q и да је OP = OQ), угао APB заиста једнак углу AQB.