9. Dans un repere, Marquez les points: $$ G(2,-1) $$; $$ \mathrm{R}(-3,1) $$ et $$ \mathrm{I}(-1,6) $$ a) Marquez Stel que GRIS soitun carre. Quelles sont les coordonnées de S? b) Marquez $$ O $$ tel que GIRO soit un parallélogramme. Quelles sont les coordonnées de $$ O $$ ?

Question

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Soit les points donnés :  
$$ G(2,-1) $$, $$ R(-3,1) $$ et $$ I(-1,6) $$.

---

### a) Carre $$ GRIS $$

Nous supposons que les points $$ G $$, $$ R $$ et $$ I $$ sont trois sommets consécutifs d’un carré. Vérifions d’abord que les segments $$ GR $$ et $$ RI $$ sont perpendiculaires et de même longueur.

1. **Vecteurs correspondants :**  
   Du point $$ G $$ au point $$ R $$ :  
   $$
   \overrightarrow{GR} = R - G = (-3-2,\ 1-(-1)) = (-5,2)
   $$  
   Du point $$ R $$ au point $$ I $$ :  
   $$
   \overrightarrow{RI} = I - R = (-1-(-3),\ 6-1) = (2,5)
   $$

2. **Vérification de la perpendicularité :**  
   Le produit scalaire est  
   $$
   \overrightarrow{GR} \cdot \overrightarrow{RI} = (-5)(2) + (2)(5) = -10 + 10 = 0.
   $$  
   Puisque le produit scalaire est nul, les vecteurs sont perpendiculaires.

3. **Vérification des longueurs :**  
   $$
   |\overrightarrow{GR}| = \sqrt{(-5)^2 + 2^2} = \sqrt{25+4} = \sqrt{29}
   $$  
   $$
   |\overrightarrow{RI}| = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4+25} = \sqrt{29}
   $$  
   Les côtés sont donc de même longueur.

Pour compléter le carré, nous cherchons le quatrième sommet $$ S $$. Dans un carré, les diagonales se coupent en leur milieu et l’on peut utiliser la relation suivante (pour les points dans l’ordre $$ G, R, I, S $$) :  
$$
S = I + (G - R).
$$

Calculons $$ G - R $$ :  
$$
G - R = (2 - (-3),\ -1 - 1) = (5,\ -2).
$$

D’où,  
$$
S = I + (5,\ -2) = (-1+5,\ 6-2) = (4,4).
$$

Ainsi, les coordonnées de $$ S $$ sont  
$$
S = (4,4).
$$

---

### b) Parallélogramme $$ GIRO $$

Pour que $$ GIRO $$ soit un parallélogramme avec $$ G $$, $$ I $$ et $$ R $$ donnés, nous pouvons utiliser la propriété suivante :  
Si $$ G $$, $$ I $$, $$ R $$ et $$ O $$ sont les sommets consécutifs du parallélogramme, alors  
$$
\overrightarrow{GI} = \overrightarrow{RO}.
$$
Ainsi,  
$$
O = R + \overrightarrow{GI}.
$$

Calculons d’abord $$ \overrightarrow{GI} $$ :  
$$
\overrightarrow{GI} = I - G = (-1-2,\ 6-(-1)) = (-3,7).
$$

Donc,  
$$
O = R + (-3,7) = (-3-3,\ 1+7) = (-6,8).
$$

Les coordonnées de $$ O $$ sont donc  
$$
O = (-6,8).
$$
### a) Carré $$ GRIS $$ Pour former un carré avec les points $$ G(2,-1) $$, $$ R(-3,1) $$, et $$ I(-1,6) $$, nous devons trouver le quatrième sommet $$ S $$. 1. **Calcul des vecteurs :** - $$ \overrightarrow{GR} = (-5, 2) $$ - $$ \overrightarrow{RI} = (2, 5) $$ 2. **Vérification de la perpendicularité et des longueurs :** - Le produit scalaire $$ \overrightarrow{GR} \cdot \overrightarrow{RI} = 0 $$, donc les côtés sont perpendiculaires. - Les longueurs $$ |\overrightarrow{GR}| = \sqrt{29} $$ et $$ |\overrightarrow{RI}| = \sqrt{29} $$ sont égales. 3. **Coordonnées de $$ S $$:** $$ S = I + (G - R) = (-1 + 5, 6 - 2) = (4, 4) $$ **Coordonnées de $$ S $$:** $$ (4, 4) $$ --- ### b) Parallélogramme $$ GIRO $$ Pour que $$ GIRO $$ soit un parallélogramme, nous avons : 1. **Calcul du vecteur $$ \overrightarrow{GI} $$:** $$ \overrightarrow{GI} = (-3, 7) $$ 2. **Coordonnées de $$ O $$:** $$ O = R + \overrightarrow{GI} = (-3 - 3, 1 + 7) = (-6, 8) $$ **Coordonnées de $$ O $$:** $$ (-6, 8) $$

9. Dans un repere, Marquez les points: \( G(2,-1) \); \( \mathrm{R}(-3,1) \) et \( \mathrm{I}(-1,6) \) a) Marquez Stel que GRIS soitun carre. Quelles sont les coordonnées de S? b) Marquez \( O \) tel que GIRO soit un parallélogramme. Quelles sont les coordonnées de \( O \) ?

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