Question
Sea el campo vectorial \( \mathbf{F}(x, y)=\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathbf{i}+2 x y \mathbf{j} \) Determine la magnitud del vector asociado al punto \( P(3,4) \)
Ask by Macdonald Nguyen. in Mexico
Mar 10,2025
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La magnitud del vector en el punto \( P(3,4) \) es 25.
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1. Evaluamos el campo vectorial en el punto \( P(3,4) \). Dado que
\[
\mathbf{F}(x, y)=\left(x^{2}-y^{2}\right)\mathbf{i}+2xy\mathbf{j},
\]
para \( x=3 \) e \( y=4 \) tenemos:
\[
F_x(3,4)=3^2-4^2=9-16=-7,
\]
\[
F_y(3,4)=2\cdot3\cdot4=24.
\]
2. El vector en el punto \( P(3,4) \) es:
\[
\mathbf{F}(3,4)=(-7)\mathbf{i}+24\mathbf{j}.
\]
3. La magnitud de un vector \( \mathbf{v}=(a,b) \) se calcula mediante:
\[
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{a^2+b^2}.
\]
Sustituyendo \( a=-7 \) y \( b=24 \):
\[
\|\mathbf{F}(3,4)\|=\sqrt{(-7)^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}.
\]
4. Finalmente:
\[
\|\mathbf{F}(3,4)\|=25.
\]
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Para encontrar la magnitud del vector asociado al punto \( P(3,4) \), primero evaluamos el campo vectorial \( \mathbf{F}(x, y) \) en ese punto. Sustituyendo \( x = 3 \) y \( y = 4 \): \[ \mathbf{F}(3, 4) = \left(3^{2} - 4^{2}\right) \mathbf{i} + 2(3)(4) \mathbf{j} = (9 - 16) \mathbf{i} + 24 \mathbf{j} = -7 \mathbf{i} + 24 \mathbf{j} \] Ahora, para encontrar la magnitud de este vector, utilizamos la fórmula de la magnitud de un vector: \[ |\mathbf{F}(3, 4)| = \sqrt{(-7)^{2} + 24^{2}} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \] La magnitud del vector en el punto \( P(3,4) \) es \( 25 \).
