Sea el campo vectorial \( \mathbf{F}(x, y)=\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathbf{i}+2 x y \mathbf{j} \) Determine la magnitud del vector asociado al punto \( P(3,4) \)

1. Evaluamos el campo vectorial en el punto \( P(3,4) \). Dado que \[ \mathbf{F}(x, y)=\left(x^{2}-y^{2}\right)\mathbf{i}+2xy\mathbf{j}, \] para \( x=3 \) e \( y=4 \) tenemos: \[ F_x(3,4)=3^2-4^2=9-16=-7, \] \[ F_y(3,4)=2\cdot3\cdot4=24. \] 2. El vector en el punto \( P(3,4) \) es: \[ \mathbf{F}(3,4)=(-7)\mathbf{i}+24\mathbf{j}. \] 3. La magnitud de un vector \( \mathbf{v}=(a,b) \) se calcula mediante: \[ \|\mathbf{v}\|=\sqrt{a^2+b^2}. \] Sustituyendo \( a=-7 \) y \( b=24 \): \[ \|\mathbf{F}(3,4)\|=\sqrt{(-7)^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}. \] 4. Finalmente: \[ \|\mathbf{F}(3,4)\|=25. \]