12 Bereken de afstand van de kruisende lijnen a. \( \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=\lambda\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ y\end{array}\right) \) en \( \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}5 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 1\end{array}\right) \) b. \( l:\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 5 \\ 0\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c}2 \\ -2 \\ 3\end{array}\right) \) en \( m:\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \)

**Oplossing deel a** We hebben de lijnen \[ \vec{r}_1 = \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \text{(dus } x=0,\ y=0,\ z=\lambda\text{)} \] \[ \vec{r}_2 = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \] Kies een punt op elke lijn. Bijvoorbeeld: \[ P=(0,0,0) \text{ op } \vec{r}_1, \quad Q=(5,0,0) \text{ op } \vec{r}_2. \] De richtingsvectoren zijn: \[ \vec{d}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \vec{d}_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}. \] De afstand tussen twee skew lijnen is \[ \text{afstand} = \frac{\left|(\vec{Q}-\vec{P}) \cdot (\vec{d}_1 \times \vec{d}_2 )\right|}{\|\vec{d}_1 \times \vec{d}_2\|}. \] Stap 1. Bereken het vector verschil: \[ \vec{Q}-\vec{P} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. \] Stap 2. Bereken het kruisproduct \[ \vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot1 - 1\cdot4 \\ 1\cdot3 - 0\cdot1 \\ 0\cdot4 - 0\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}. \] De lengte hiervan is \[ \|\vec{d}_1 \times \vec{d}_2\| = \sqrt{(-4)^2+3^2+0^2} = \sqrt{16+9} = 5. \] Stap 3. Bereken het inwendige product \[ (\vec{Q}-\vec{P})\cdot(\vec{d}_1 \times \vec{d}_2) = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = 5\cdot (-4)+0\cdot3+0\cdot0 = -20. \] Neem de absolute waarde \[ \left| -20 \right| = 20. \] Stap 4. De afstand is dan \[ \text{afstand} = \frac{20}{5} = 4. \] **Oplossing deel b** De gegeven lijnen zijn \[ l: \vec{r}_l = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \] \[ m: \vec{r}_m = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}. \] Kies punten op de lijnen: \[ P = (0,5,0) \text{ op } l, \quad Q = (3,2,0) \text{ op } m. \] De richtingsvectoren zijn: \[ \vec{d}_l = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \vec{d}_m = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}. \] Stap 1. Bereken het verschil \[ \vec{Q}-\vec{P} = \begin{pmatrix} 3-0 \\ 2-5 \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}. \] Stap 2. Bereken het kruisproduct \[ \vec{d}_l \times \vec{d}_m = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}. \] Bereken de componenten: - \(i\)-component: \((-2)\cdot1 - 3\cdot0 = -2\). - \(j\)-component: \(3\cdot1 - 2\cdot1 = 3-2 = 1\). - \(k\)-component: \(2\cdot0 - (-2)\cdot1 = 0+2 = 2\). Dus, \[ \vec{d}_l \times \vec{d}_m = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}. \] En de lengte hiervan is \[ \|\vec{d}_l \times \vec{d}_m\| = \sqrt{(-2)^2+1^2+2^2} = \sqrt{4+1+4} = 3. \] Stap 3. Inwendige product \[ (\vec{Q}-\vec{P}) \cdot (\vec{d}_l \times \vec{d}_m)= \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = 3\cdot(-2)+(-3)\cdot1+0\cdot2 = -6 - 3 = -9. \] Absolute waarde: \[ | -9 | = 9. \] Stap 4. De afstand wordt dan \[ \text{afstand} = \frac{9}{3} = 3. \] **Antwoorden:** a. \(4\) b. \(3\)