1) \( f^{x}(x)=\frac{x^{2}-6 x+9}{2 x-4} \) 2) \( g(x)=x^{2}-6 x+9 \) 3) \( f(x)=\frac{2 x-4}{x^{2}-x+1} \) 4) \( g(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{3} 6 x+9 x} \) 5) \( f(x)=\sqrt{x^{2}-7 x+10} \) 6) \( f(x)=\sqrt{3 x-2 x+1} \) 7) \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{3^{x}-16}} \) \( \sum_{9}^{8} \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} \) \( 9 \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}} \)

1) Soit \[ f^x(x)=\frac{x^2-6x+9}{2x-4}. \] Nous remarquons que le numérateur se factorise : \[ x^2-6x+9=(x-3)^2, \] et le dénominateur s’écrit \[ 2x-4=2(x-2). \] On a donc \[ f^x(x)=\frac{(x-3)^2}{2(x-2)}. \] Il faut noter que la fonction n’est pas définie pour \(x=2\) car le dénominateur s’annule. 2) La fonction \[ g(x)=x^2-6x+9 \] se factorise de la même manière : \[ g(x)=(x-3)^2. \] 3) Pour \[ f(x)=\frac{2x-4}{x^2-x+1}, \] on peut écrire le numérateur sous la forme factorisée : \[ 2x-4=2(x-2). \] Ainsi, \[ f(x)=\frac{2(x-2)}{x^2-x+1}. \] Le polynôme \(x^2-x+1\) n’a pas de racines réelles (son discriminant est \(1-4= -3\)) donc il est toujours non nul. Le domaine de définition est donc \(\mathbb{R}\). 4) On considère \[ g(x)=\frac{x^2+1}{x^3\,6x+9x}. \] L’écriture du dénominateur prête à confusion à cause de l’espacement. En supposant que l’intention était d’écrire \[ g(x)=\frac{x^2+1}{x^3+6x+9x}, \] on regroupe les termes du dénominateur : \[ x^3+6x+9x = x^3+15x. \] On peut alors factoriser par $x$ : \[ x^3+15x=x\,(x^2+15). \] Ainsi, \[ g(x)=\frac{x^2+1}{x\,(x^2+15)}. \] Notez que pour que \(g(x)\) soit défini, on doit avoir \(x\neq 0\). (Autrement, si l’intention était d’obtenir \(x^3-6x+9x=x^3+3x\), alors \[ g(x)=\frac{x^2+1}{x\,(x^2+3)}, \] ce qui conduit à un résultat similaire.) 5) Pour la fonction \[ f(x)=\sqrt{x^2-7x+10}, \] on factorise l'expression sous la racine : \[ x^2-7x+10=(x-2)(x-5). \] La racine carrée est définie lorsque \[ (x-2)(x-5)\ge 0. \] L'inéquation se résout en deux intervalles : - \(x\le 2\), - \(x\ge 5\). 6) Pour \[ f(x)=\sqrt{3x-2x+1}, \] on simplifie à l’intérieur de la racine : \[ 3x-2x+1=x+1, \] d’où \[ f(x)=\sqrt{x+1}. \] La condition de définition est \(x+1\ge 0\), soit \(x\ge -1\). 7) Considérons \[ f(x)=\frac{1}{\sqrt{3^x-16}}. \] Pour que l’expression sous la racine soit strictement positive (car le dénominateur ne doit pas être nul), il faut \[ 3^x-16>0 \quad \Longrightarrow \quad 3^x>16. \] En prenant le logarithme en base \(3\), on obtient : \[ x>\frac{\ln 16}{\ln 3}. \] 8) L'expression \[ \sum_{9}^{8} \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} \] indique une somme dont la borne inférieure est \(9\) et la borne supérieure est \(8\). En notation usuelle, si l’indice itère des entiers et la borne inférieure est supérieure à la borne supérieure, la somme est vide et par convention vaut \(0\). 9) Enfin, l'expression \[ 9\,\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}} \] peut être réécrite sans changement, ou encore : \[ \frac{9\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}. \] Il n’existe pas de simplification supplémentaire évidente à moins d’imposer des conditions supplémentaires sur \(x\) (notamment pour garantir la définition des racines carrées, il faut que \(x-1\ge 0\) et \(x+1>0\), c’est-à-dire \(x\ge 1\)).