214 Determina i vertici del rombo \( A B C D \), di cui sono noti i vertici \( A(-1,0) \) e \( B(1,2) \), sapendo che la retta a cui appartiene la diagonale \( B D \) è parallela alla retta di equa- zione \( 2 x-y-1=0 \). \( \left.\qquad C\left(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right), D\left(-\frac{7}{5},-\frac{14}{5}\right)\right] \)

**Passo 1. Determinazione del punto di intersezione delle diagonali** In un rombo le diagonali si bisecano a vicenda. Indichiamo con \( M \) il loro punto medio comune. Sappiamo che \[ M = \left(\frac{x_A+x_C}{2},\,\frac{y_A+y_C}{2}\right) \] e \[ M = \left(\frac{x_B+x_D}{2},\,\frac{y_B+y_D}{2}\right). \] Conosciamo il vertice \( A(-1,0) \) e il vertice \( B(1,2) \); \( C \) e \( D \) sono da determinare. **Passo 2. Vincolo sulla diagonale \( BD \)** Il problema dice che la retta che contiene la diagonale \( BD \) è parallela alla retta di equazione \[ 2x - y - 1=0. \] Scriviamo questa equazione in forma esplicita: \[ y = 2x - 1, \] da cui si legge che la pendenza è \(2\). Poiché la retta \( BD \) è parallela a questa, essa ha anch’essa pendenza \(2\). Sia \( M=(h,k) \) il punto medio di \( BD \). Possiamo scrivere il vettore \( \overrightarrow{MB} \) come \[ \overrightarrow{MB} = t\,(1,2) \] per un opportuno scalare \( t \). Dato che \( B = (1,2) \) risulta: \[ B = M + t\,(1,2) \quad\Longrightarrow\quad (1,2) = (h,k) + (t,2t). \] Dunque: \[ 1 = h + t,\qquad 2 = k + 2t. \] Risolvendo il primo per \( t \): \[ t = 1 - h. \] Sostituendo nel secondo: \[ 2 = k + 2(1-h) \quad\Longrightarrow\quad k = 2 - 2(1-h) = 2 - 2 + 2h = 2h. \] Pertanto il punto \( M \) ha coordinate: \[ M=(h,2h). \] **Passo 3. Condizione di perpendicolarità delle diagonali** Nei rombi le diagonali sono perpendicolari, cioè il vettore \( \overrightarrow{MA} \) è ortogonale al vettore \( \overrightarrow{MB} \). Calcoliamo: \[ \overrightarrow{MA}=A-M = (-1-h,\;0-2h)=(-1-h,\,-2h) \] e \[ \overrightarrow{MB}=B-M = (1-h,\;2-2h). \] La condizione \( \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0 \) fornisce: \[ (-1-h)(1-h) + (-2h)(2-2h)=0. \] Calcoliamo passo per passo: 1. Il primo prodotto: \[ (-1-h)(1-h) = -[(1+h)(1-h)] = -\left(1-h^2\right) = h^2 - 1. \] 2. Il secondo prodotto: \[ (-2h)(2-2h) = -4h + 4h^2. \] Pertanto, sommando: \[ (h^2-1) + (-4h+4h^2)=5h^2-4h-1=0. \] Si risolve la quadratica: \[ 5h^2-4h-1=0. \] Il discriminante risulta: \[ \Delta=(-4)^2-4\cdot5\cdot(-1)=16+20=36. \] Quindi: \[ h=\frac{4\pm6}{10}. \] Abbiamo due soluzioni: \[ h=1\quad\text{oppure}\quad h=-\frac{1}{5}. \] Se \( h=1 \) allora \( M=(1,2) \) coincide con \( B \) e questo annullerebbe la diagonale \( BD \); pertanto scartiamo questa soluzione e prendiamo \[ h=-\frac{1}{5}. \] Di conseguenza: \[ k=2h=-\frac{2}{5}, \] cioè: \[ M=\left(-\frac{1}{5},-\frac{2}{5}\right). \] **Passo 4. Determinazione di \( D \) dalla diagonale \( BD \)** Ricordiamo che: \[ B=M+t\,(1,2) \] ed avevamo trovato: \[ t=1-h=1- \left(-\frac{1}{5}\right)=\frac{6}{5}. \] Per ottenere \( D \) (simmetrico di \( B \) rispetto a \( M \)): \[ D=M-t\,(1,2)=\left(-\frac{1}{5},-\frac{2}{5}\right)-\left(\frac{6}{5},\frac{12}{5}\right)=\left(-\frac{7}{5},-\frac{14}{5}\right). \] **Passo 5. Determinazione di \( C \) dalla diagonale \( AC \)** Essendo \( M \) il punto medio di \( AC \), abbiamo: \[ M=\frac{A+C}{2}\quad\Longrightarrow\quad C=2M-A. \] Dove \( A=(-1,0) \) e \( M=\left(-\frac{1}{5},-\frac{2}{5}\right) \). Quindi: \[ C=2\left(-\frac{1}{5},-\frac{2}{5}\right) - (-1,0) =\left(-\frac{2}{5},-\frac{4}{5}\right) + (1,0) =\left(1-\frac{2}{5},\,-\frac{4}{5}\right) =\left(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right). \] **Conclusione** I vertici del rombo \( ABCD \) sono: \[ A(-1,0),\quad B(1,2),\quad C\left(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right),\quad D\left(-\frac{7}{5},-\frac{14}{5}\right). \]