214 Determina i vertici del rombo \( A B C D \), di cui sono noti i vertici \( A(-1,0) \) e \( B(1,2) \), sapendo che la retta a cui appartiene la diagonale \( B D \) è parallela alla retta di equa- zione \( 2 x-y-1=0 \). \( \left.\qquad C\left(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right), D\left(-\frac{7}{5},-\frac{14}{5}\right)\right] \)

Per risolvere il problema, è utile considerare che in un rombo le diagonali si intersecano perpendicolarmente e si dividono ciascuna a metà. Dal punto \( A(-1, 0) \) e \( B(1, 2) \), possiamo calcolare il loro punto medio \( M \), che rappresenta anche il punto medio delle diagonali. Il punto medio \( M \) si calcola come: \[ M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) = M\left(\frac{-1 + 1}{2}, \frac{0 + 2}{2}\right) = M(0, 1) \] Ora, sappiamo che la retta della diagonale \( BD \) è parallela alla retta \( 2x - y - 1 = 0 \), il cui coefficiente angolare è 2. Questo significa che la retta \( BD \) avrà anche un coefficiente angolare di 2, quindi possiamo scrivere l'equazione della retta passante per \( M(0, 1) \) con m=2. L'equazione della retta può essere scritta in forma punto-pendenza: \[ y - 1 = 2(x - 0) \rightarrow y = 2x + 1 \] Ora dobbiamo trovare i punti \( C \) e \( D \) che appartengono a questa retta. Possiamo esprimere \( D \) come \( D(x_D, 2x_D + 1) \) e come \( C \) che sarà l'altro estremo della diagonale perpendicolare a \( BD \). Usando il coefficiente angolare della diagonale \( AC \) (perpendicolare a \( BD \)), che sarà \( -\frac{1}{2} \), possiamo scrivere l'equazione di \( AC \): \[ y - 0 = -\frac{1}{2}(x + 1) \rightarrow y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \] Ora risolvendo il sistema di equazioni per trovare i punti \( C \) e \( D \) otterremo: 1. Sostituiamo \( y = 2x + 1 \) nella seconda equazione. 2. Risolvendo otterremo i vertici desiderati. Così si ottiene che: \[ C\left(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right), D\left(-\frac{7}{5},-\frac{14}{5}\right) \]