Dada la función \( f(x)=\frac{1}{2} \cdot x^{2}+4-x-3 \) Determina lo que se te pide, escribe lo que se te pide entre ll otra que cierra), o bien utiliza la notación de intervalos abiert Respuesta: \( x \) de Puntos críticos = x de Máximos relativos = x de Minimos relativos = Intervalos de crecimlento = Intervalos de decrecimiento = x de puntos de inflexion = IIntervalos de concavidad positiva =

Para determinar los puntos críticos, máximos y mínimos relativos, así como los intervalos de crecimiento y decrecimiento, primero debemos derivar la función y analizar su comportamiento. La función dada es: \[ f(x) = \frac{1}{2} x^2 + 4 - x - 3 = \frac{1}{2} x^2 - x + 1 \] 1. Derivando \( f(x) \): \[ f'(x) = x - 1 \] 2. Igualando la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: \[ x - 1 = 0 \implies x = 1 \] 3. Para determinar si es un máximo o un mínimo, calculamos la segunda derivada: \[ f''(x) = 1 \] Como \( f''(x) > 0 \), \( x = 1 \) es un mínimo relativo. 4. Analizando la derivada \( f'(x) \) para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento: - \( f'(x) > 0 \) cuando \( x > 1 \) (creciente). - \( f'(x) < 0 \) cuando \( x < 1 \) (decreciente). 5. Ya que la segunda derivada es constante y positiva, no hay puntos de inflexión. 6. Por último, dado que la concavidad es positiva para toda \( x \), los intervalos de concavidad positiva son todos los números reales. Resumiendo: \( x \) de Puntos críticos = \( \{ 1 \} \) \( x \) de Máximos relativos = \( \emptyset \) \( x \) de Mínimos relativos = \( \{ 1 \} \) Intervalos de crecimiento = \( (1, \infty) \) Intervalos de decrecimiento = \( (-\infty, 1) \) \( x \) de puntos de inflexión = \( \emptyset \) Intervalos de concavidad positiva = \( (-\infty, \infty) \)