III Determina para cuales valores las funciones son continua \( \begin{array}{l}Y=\frac{5 x-5}{x^{2}-8 x+7} \\ 2

Ask by Bowen Dunn. in Dominican Republic

Mar 13,2025

Para determinar los valores en los que las funciones son continuas, debemos identificar los puntos donde el denominador se anula, ya que en esos puntos la función no estará definida y, por lo tanto, no será continua. Vamos a analizar cada función por separado. 1. **Función \( Y = \frac{5x - 5}{x^2 - 8x + 7} \) en el intervalo \( 2 < x < 7 \)** Primero, factorizamos el denominador: \[ x^2 - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7) \] El denominador se anula en \( x = 1 \) y \( x = 7 \). Sin embargo, solo \( x = 7 \) está en el intervalo \( 2 < x < 7 \). Por lo tanto, la función es continua en el intervalo \( (2, 7) \) excluyendo \( x = 7 \). 2. **Función \( Y = \frac{3x - 5}{x^2 - 5x + 6} \) en el intervalo \( ]2, 4[ \)** Factorizamos el denominador: \[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \] El denominador se anula en \( x = 2 \) y \( x = 3 \). En el intervalo \( ]2, 4[ \), el único punto donde la función no es continua es en \( x = 3 \). Por lo tanto, la función es continua en \( ]2, 3[ \cup ]3, 4[ \). 3. **Función \( Y = \frac{3x - 5}{x^2 - 1} \) en el intervalo \( ]1, 3[ \)** Factorizamos el denominador: \[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \] El denominador se anula en \( x = 1 \) y \( x = -1 \). En el intervalo \( ]1, 3[ \), el único punto donde la función no es continua es en \( x = 1 \). Por lo tanto, la función es continua en \( ]1, 3[ \). 4. **Función \( Y = \frac{x + 2}{x^2 - 4} \) en el intervalo \( [-3, 2] \)** Factorizamos el denominador: \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \] El denominador se anula en \( x = 2 \) y \( x = -2 \). En el intervalo \( [-3, 2] \), el único punto donde la función no es continua es en \( x = 2 \). Por lo tanto, la función es continua en \( [-3, -2[ \cup [-2, 2[ \). 5. **Función \( Y = \frac{x + 3}{x^2 - 5x + 4} \) en el intervalo \( ]4, 6] \)** Factorizamos el denominador: \[ x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4) \] El denominador se anula en \( x = 1 \) y \( x = 4 \). En el intervalo \( ]4, 6] \), el único punto donde la función no es continua es en \( x = 4 \). Por lo tanto, la función es continua en \( ]4, 6] \) excluyendo \( x = 4 \). ### Resumen de continuidad: - \( Y = \frac{5x - 5}{x^2 - 8x + 7} \): continua en \( (2, 7) \) excluyendo \( x = 7 \). - \( Y = \frac{3x - 5}{x^2 - 5x + 6} \): continua en \( ]2, 3[ \cup ]3, 4[ \). - \( Y = \frac{3x - 5}{x^2 - 1} \): continua en \( ]1, 3[ \). - \( Y = \frac{x + 2}{x^2 - 4} \): continua en \( [-3, -2[ \cup [-2, 2[ \). - \( Y = \frac{x + 3}{x^2 - 5x + 4} \): continua en \( ]4, 6] \) excluyendo \( x = 4 \).