Answer
L'équation de la droite tangente est \( y = -26x - 417 \).
Solution
Soit la fonction
\[
f(x)=x^{2}+4x-192.
\]
**Étape 1 : Calcul de la dérivée**
La dérivée de \( f(x) \) est
\[
f'(x)=2x+4.
\]
**Étape 2 : Détermination du point de tangence**
On cherche un point de tangence \((a, f(a))\) tel que la droite tangente passe par le point \( (-15,-27) \).
L'équation de la droite tangente en \( x=a \) s'écrit
\[
y-f(a)=f'(a)(x-a).
\]
Comme cette droite passe par \( (-15,-27) \), on a
\[
-27-f(a)=f'(a)(-15-a).
\]
En substituant \( f(a)=a^{2}+4a-192 \) et \( f'(a)=2a+4 \), on obtient
\[
-27-\left(a^{2}+4a-192\right)=(2a+4)(-15-a).
\]
**Étape 3 : Simplification et résolution de l'équation en \( a \)**
D'abord, simplifions le membre de gauche :
\[
-27-\left(a^{2}+4a-192\right) = -a^{2}-4a+165,
\]
puisque \( 192-27=165 \).
Ensuite, développons le membre de droite :
\[
(2a+4)(-15-a)= (2a)(-15) + (2a)(-a) + (4)(-15) + (4)(-a) = -30a -2a^{2}-60-4a = -2a^{2}-34a-60.
\]
L'équation devient alors :
\[
-a^{2}-4a+165=-2a^{2}-34a-60.
\]
En ramenant tous les termes d’un côté, on additionne \( 2a^{2}+34a+60 \) aux deux côtés :
\[
(-a^{2}+2a^{2})+(-4a+34a)+(165+60)=a^{2}+30a+225=0.
\]
**Étape 4 : Résolution de l'équation quadratique**
On remarque que
\[
a^{2}+30a+225= (a+15)^{2}=0.
\]
D'où
\[
a=-15.
\]
**Étape 5 : Vérification du point de tangence**
Le point de tangence est
\[
(-15, f(-15)),
\]
avec
\[
f(-15)=(-15)^2+4(-15)-192=225-60-192=-27.
\]
Ainsi, le point est bien \( (-15,-27) \).
**Étape 6 : Écriture de l'équation de la tangente**
La pente de la tangente au point \( x=-15 \) est
\[
f'(-15)=2(-15)+4=-30+4=-26.
\]
L'équation de la droite tangente est donc :
\[
y-f(-15)=f'(-15)(x-(-15)) \quad \Rightarrow \quad y+27=-26(x+15).
\]
En réarrangeant, on obtient :
\[
y=-26x-26\cdot15-27.
\]
Calculons \( 26\cdot15 \) :
\[
26\cdot15=390.
\]
Donc,
\[
y=-26x-390-27=-26x-417.
\]
**Conclusion**
L'équation principale de la droite tangente à la courbe qui passe par le point \( (-15,-27) \) est
\[
y=-26x-417.
\]
Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor
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