Encuentre la ecuación principal de la recta tangente a la gráfica defirida por: $$ f(x)=x^{2}+4 \cdot x-192 $$ la cual pasa por el punto $$ (-15,-27) $$.

Question

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Soit la fonction  
$$
f(x)=x^{2}+4x-192.
$$

**Étape 1 : Calcul de la dérivée**  
La dérivée de $$ f(x) $$ est  
$$
f'(x)=2x+4.
$$

**Étape 2 : Détermination du point de tangence**  
On cherche un point de tangence $$(a, f(a))$$ tel que la droite tangente passe par le point $$ (-15,-27) $$.  
L'équation de la droite tangente en $$ x=a $$ s'écrit  
$$
y-f(a)=f'(a)(x-a).
$$
Comme cette droite passe par $$ (-15,-27) $$, on a  
$$
-27-f(a)=f'(a)(-15-a).
$$
En substituant $$ f(a)=a^{2}+4a-192 $$ et $$ f'(a)=2a+4 $$, on obtient  
$$
-27-\left(a^{2}+4a-192\right)=(2a+4)(-15-a).
$$

**Étape 3 : Simplification et résolution de l'équation en $$ a $$**  
D'abord, simplifions le membre de gauche :  
$$
-27-\left(a^{2}+4a-192\right) = -a^{2}-4a+165,
$$
puisque $$ 192-27=165 $$.

Ensuite, développons le membre de droite :  
$$
(2a+4)(-15-a)= (2a)(-15) + (2a)(-a) + (4)(-15) + (4)(-a) = -30a -2a^{2}-60-4a = -2a^{2}-34a-60.
$$

L'équation devient alors :  
$$
-a^{2}-4a+165=-2a^{2}-34a-60.
$$

En ramenant tous les termes d’un côté, on additionne $$ 2a^{2}+34a+60 $$ aux deux côtés :  
$$
(-a^{2}+2a^{2})+(-4a+34a)+(165+60)=a^{2}+30a+225=0.
$$

**Étape 4 : Résolution de l'équation quadratique**  
On remarque que  
$$
a^{2}+30a+225= (a+15)^{2}=0.
$$
D'où  
$$
a=-15.
$$

**Étape 5 : Vérification du point de tangence**  
Le point de tangence est  
$$
(-15, f(-15)),
$$
avec  
$$
f(-15)=(-15)^2+4(-15)-192=225-60-192=-27.
$$
Ainsi, le point est bien $$ (-15,-27) $$.

**Étape 6 : Écriture de l'équation de la tangente**  
La pente de la tangente au point $$ x=-15 $$ est  
$$
f'(-15)=2(-15)+4=-30+4=-26.
$$
L'équation de la droite tangente est donc :  
$$
y-f(-15)=f'(-15)(x-(-15)) \quad \Rightarrow \quad y+27=-26(x+15).
$$

En réarrangeant, on obtient :  
$$
y=-26x-26\cdot15-27.
$$
Calculons $$ 26\cdot15 $$ :  
$$
26\cdot15=390.
$$
Donc,  
$$
y=-26x-390-27=-26x-417.
$$

**Conclusion**  
L'équation principale de la droite tangente à la courbe qui passe par le point $$ (-15,-27) $$ est  
$$
y=-26x-417.
$$
L'équation de la droite tangente est $$ y = -26x - 417 $$.

Encuentre la ecuación principal de la recta tangente a la gráfica defirida por: \[ f(x)=x^{2}+4 \cdot x-192 \] la cual pasa por el punto \( (-15,-27) \).

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