misura \( 2 \pi \mathrm{~cm} \). Calcola l'ampiezza dell'angolo al centro corrispondente e il valore esatto dell'area del settore circolare. [ \( \left.36^{\circ} ; 10 \pi \mathrm{~cm}^{2}\right] \) II raggio di una circonferenza è \( 5,5 \mathrm{~m} \). L'a- rea di un settore circolare misura \( 38 \mathrm{~m}^{2} \). Calcola l'ampiezza dell'angolo al centro. Approssima alle unità.

Per risolvere il problema, seguiamo i seguenti passaggi: ### Primo Problema 1. **Dati forniti**: - Misura dell'arco \( s = 2\pi \, \text{cm} \) - Raggio \( r = 5 \, \text{cm} \) (poiché \( s = r \cdot \theta \) e \( \theta \) è in radianti) 2. **Calcolo dell'ampiezza dell'angolo al centro**: L'ampiezza dell'angolo al centro \( \theta \) può essere calcolata usando la formula: \[ s = r \cdot \theta \] Da cui otteniamo: \[ \theta = \frac{s}{r} = \frac{2\pi}{5} \] 3. **Conversione in gradi**: Per convertire \( \theta \) in gradi, utilizziamo la relazione: \[ \theta_{\text{gradi}} = \theta \cdot \frac{180}{\pi} \] 4. **Calcolo dell'area del settore circolare**: L'area \( A \) del settore circolare è data dalla formula: \[ A = \frac{1}{2} r^2 \theta \] Ora procediamo con i calcoli. ### Secondo Problema 1. **Dati forniti**: - Raggio \( r = 5.5 \, \text{m} \) - Area del settore \( A = 38 \, \text{m}^2 \) 2. **Calcolo dell'ampiezza dell'angolo al centro**: Utilizziamo la formula per l'area del settore circolare: \[ A = \frac{1}{2} r^2 \theta \] Da cui otteniamo: \[ \theta = \frac{2A}{r^2} \] Ora eseguiamo i calcoli per entrambi i problemi. Solve the equation by following steps: - step0: Solve for \(s\): \(s=2\pi \) Solve the equation \( A=\frac{1}{2}r^2\theta \). Solve the equation by following steps: - step0: Solve for \(\theta\): \(A=\frac{1}{2}r^{2}\theta \) - step1: Swap the sides: \(\frac{1}{2}r^{2}\theta =A\) - step2: Divide both sides: \(\frac{\frac{1}{2}r^{2}\theta }{\frac{1}{2}r^{2}}=\frac{A}{\frac{1}{2}r^{2}}\) - step3: Divide the numbers: \(\theta =\frac{2A}{r^{2}}\) Solve the equation \( \theta=\frac{2\pi}{5} \). Solve the equation by following steps: - step0: Solve for \(\theta\): \(\theta =\frac{2\pi }{5}\) Solve the equation \( A=\frac{1}{2}(5.5)^{2}\theta \). Solve the equation by following steps: - step0: Solve for \(\theta\): \(A=\frac{1}{2}\times 5.5^{2}\theta \) - step1: Simplify: \(A=\frac{11^{2}}{2^{3}}\times \theta \) - step2: Swap the sides: \(\frac{11^{2}}{2^{3}}\times \theta =A\) - step3: Rewrite the expression: \(\frac{11^{2}\theta }{2^{3}}=A\) - step4: Cross multiply: \(11^{2}\theta =2^{3}A\) - step5: Simplify the equation: \(11^{2}\theta =8A\) - step6: Divide both sides: \(\frac{11^{2}\theta }{11^{2}}=\frac{8A}{11^{2}}\) - step7: Divide the numbers: \(\theta =\frac{8A}{11^{2}}\) - step8: Evaluate the power: \(\theta =\frac{8A}{121}\) Rewrite the number \( \frac{2\pi}{5} \). Rewrite the angle by following steps: - step0: Convert to degrees: \(\frac{2\pi }{5}\) - step1: Convert to degrees: \(72^{\circ}\) Solve the equation \( \theta=\frac{2\cdot 38}{(5.5)^{2}} \). Solve the equation by following steps: - step0: Solve for \(\theta\): \(\theta =\frac{2\times 38}{5.5^{2}}\) - step1: Simplify: \(\theta =\frac{304}{11^{2}}\) - step2: Simplify: \(\theta =\frac{304}{121}\) ### Risultati Finali #### Primo Problema 1. **Ampiezza dell'angolo al centro**: \[ \theta = \frac{2\pi}{5} \text{ rad} \approx 72^{\circ} \] 2. **Area del settore circolare**: Utilizzando la formula per l'area: \[ A = \frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} (5)^2 \left(\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{25\pi}{5} = 5\pi \, \text{cm}^2 \] #### Secondo Problema 1. **Ampiezza dell'angolo al centro**: \[ \theta = \frac{2 \cdot 38}{(5.5)^2} = \frac{76}{30.25} \approx 2.51 \text{ rad} \] Convertendo in gradi: \[ \theta \approx 144.5^{\circ} \] ### Risultati Riassuntivi - **Primo Problema**: - Ampiezza dell'angolo: \( 72^{\circ} \) - Area del settore: \( 5\pi \, \text{cm}^2 \) - **Secondo Problema**: - Ampiezza dell'angolo: \( 144.5^{\circ} \) (approssimato a \( 145^{\circ} \)) Se hai bisogno di ulteriori chiarimenti o calcoli, fammi sapere!