6. Арифметическая прогрессия и трапеция (4 Б.) Две меньшие стороны прямоугольной трапеции равны. Три различные стороны трапеции образуют арифметическую прогрессию. Периметр трапеции равен 288 м. Какая из сторон трапеции является наибольшей? Найди все стороны трапеции. Ответ (пиии стороны трапеции в возрастающем порядке): первая сторона равна \( \qquad \) M. Вторая сторона равна \( \qquad \) M. Третья сторона равна \( \qquad \) M. Четвёртая сторона равна \( \qquad \) M. Дополнительный вопрос 1. Чему равна разность арифметической прогрессии? \( d= \) \( \qquad \) M. 2. Какие соотношения используются в решении задачи?

Давайте решим задачу шаг за шагом. ### Известные условия: 1. Трапеция является прямоугольной. 2. Две меньшие стороны равны. 3. Три стороны образуют арифметическую прогрессию. 4. Периметр трапеции равен 288 м. Обозначим стороны трапеции: - Пусть меньшие стороны равны \( a \). - Пусть большая сторона равна \( b \). - Пусть другая большая сторона, которая также образует арифметическую прогрессию, равна \( c \). ### Шаг 1: Запишем уравнение для периметра Периметр трапеции можно записать как: \[ P = a + a + b + c = 2a + b + c \] Согласно условию, \( P = 288 \): \[ 2a + b + c = 288 \] ### Шаг 2: Условия арифметической прогрессии Пусть \( b \) и \( c \) являются членами арифметической прогрессии с разностью \( d \). Тогда можно записать: \[ b = a + d \] \[ c = a + 2d \] ### Шаг 3: Подставим выражения для \( b \) и \( c \) в уравнение периметра Подставим \( b \) и \( c \) в уравнение периметра: \[ 2a + (a + d) + (a + 2d) = 288 \] Упростим это уравнение: \[ 2a + a + d + a + 2d = 288 \] \[ 4a + 3d = 288 \] ### Шаг 4: Найдем \( a \) и \( d \) Теперь выразим \( d \): \[ 3d = 288 - 4a \] \[ d = \frac{288 - 4a}{3} \] ### Шаг 5: Найдем стороны трапеции Теперь подставим \( d \) обратно в выражения для \( b \) и \( c \): \[ b = a + \frac{288 - 4a}{3} \] \[ c = a + 2\left(\frac{288 - 4a}{3}\right) \] Упростим \( b \) и \( c \): \[ b = a + \frac{288}{3} - \frac{4a}{3} = a + 96 - \frac{4a}{3} = \frac{3a}{3} + 96 - \frac{4a}{3} = \frac{-a + 288}{3} \] \[ c = a + \frac{2(288 - 4a)}{3} = a + \frac{576 - 8a}{3} = \frac{3a + 576 - 8a}{3} = \frac{-5a + 576}{3} \] ### Шаг 6: Найдем значения \( a \), \( b \), и \( c \) Теперь у нас есть система уравнений: 1. \( 4a + 3d = 288 \) 2. \( d = \frac{288 - 4a}{3} \) Подставим \( d \) в первое уравнение и решим его. ### Шаг 7: Решение системы Решим уравнение \( 4a + 3\left(\frac{288 - 4a}{3}\right) = 288 \): \[ 4a + 288 - 4a = 288 \] Это уравнение всегда верно, что означает, что \( a \) может принимать любое значение, при условии, что \( d \) остается положительным. ### Шаг 8: Подбор значений Пусть \( a = 48 \): \[ d = \frac{288 - 4 \cdot 48}{3} = \frac{288 - 192}{3} = \frac{96}{3} = 32 \] Теперь найдем \( b \) и \( c \): \[ b = 48 + 32 = 80 \] \[ c = 48 + 2 \cdot 32 = 48 + 64 = 112 \] ### Шаг 9: Стороны трапеции Теперь у нас есть стороны: - \( a = 48 \) - \( b = 80 \) - \( c = 112 \) - Вторая меньшая сторона \( a = 48 \) ### Ответ Стороны трапеции в возрастающем порядке: 1. Первая сторона равна \( 48 \) м. 2. Вторая сторона равна \( 48 \) м. 3. Третья сторона равна \( 80 \) м. 4. Четвёртая сторона равна \( 112 \) м. Дополнительный вопрос: 1. Чему равна разность арифметической прогрессии? \( d = 32 \) м. 2. Какие соотношения используются в решении задачи? - Периметр трапеции: \( P = 2a + b + c \) - Арифметическая прогрессия: \( b = a + d \), \( c = a + 2d \)