120 Siano $$ A B, A C, A D $$ tre spigoli di un cubo. Sapendo che uno spigolo è lungo $$ s $$, calcolare la distanza del vertice $$ A $$ dal piano dei punti $$ B, C, D $$. (Esame di Stato, Liceo scientifico, Corso di ordinamento, Sessione suppletiva, 2005, quesito 2 ) $$ \left[\frac{s}{\sqrt{3}}\right] $$

Question

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Sia dato un cubo con spigolo lungo $$ s $$. Possiamo assumere, senza perdita di generalità, di posizionare il punto $$ A $$ nell’origine e i tre spigoli uscire dalle coordinate:
- $$ A = (0,0,0) $$,
- $$ B = (s,0,0) $$,
- $$ C = (0,s,0) $$,
- $$ D = (0,0,s) $$.

Il piano che contiene $$ B $$, $$ C $$ e $$ D $$ passa per questi tre punti. Per trovare l'equazione del piano possiamo notare che i vettori
$$
\vec{BC} = C - B = (-s,s,0)
$$
$$
\vec{BD} = D - B = (-s,0,s)
$$
giacciono nel piano.

Calcoliamo il prodotto vettoriale per trovare un vettore normale al piano:
$$
\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BD} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
-s & s & 0 \
-s & 0 & s
\end{vmatrix}
= \bigl(s^2,\; s^2,\; s^2\bigr) = s^2\,(1,1,1).
$$

Pertanto, un vettore normale al piano è $$ (1,1,1) $$.

L'equazione del piano è della forma
$$
x + y + z = k.
$$
Usando uno dei punti, ad esempio $$ B = (s,0,0) $$, si ottiene:
$$
s + 0 + 0 = k \quad \Longrightarrow \quad k = s.
$$
Quindi l'equazione del piano è:
$$
x + y + z = s.
$$

La distanza $$ d $$ di un punto $$ (x_0, y_0, z_0) $$ da un piano dato da $$ ax + by + cz + d = 0 $$ si calcola con:
$$
d = \frac{\left| ax_0 + by_0 + cz_0 + d \right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
$$
Riscriviamo l’equazione del piano in forma standard:
$$
x + y + z - s = 0,
$$
quindi $$ a=1 $$, $$ b=1 $$, $$ c=1 $$ e $$ d=-s $$.

Considerando il punto $$ A=(0,0,0) $$, la distanza $$ d $$ è:
$$
d = \frac{\left| 1\cdot0+1\cdot0+1\cdot0 - s \right|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}
= \frac{| - s |}{\sqrt{3}}
= \frac{s}{\sqrt{3}}.
$$

Quindi, la distanza del vertice $$ A $$ dal piano contenente i punti $$ B $$, $$ C $$ e $$ D $$ è
$$
\boxed{\frac{s}{\sqrt{3}}}.
$$
La distanza del vertice $$ A $$ dal piano contenente i punti $$ B $$, $$ C $$ e $$ D $$ è $$ \frac{s}{\sqrt{3}} $$.

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