Un médico está analizando la posibilidad de usar un nuevo método de tratamiento. El médico cambiara al nuevo método de tratamiento si hay pruebas de que el nuevo tratamiento usa menos tiempo que el tratamiento antiguo. A fin de tomar una decisín, se seleccionaron dos muestras aleatorias y se registró los tiempos en segundos, en los dos tratamientos, con los siguientes resultados: \[ \begin{array}{ccccccccc} \text { Antiguo } & 5 & \frac{12}{12} & 6 & 7 & 14 & 7 & 8 & \frac{15}{7} \\ \text { Nuevo } & 7 & 6 & 9 & 3 & 7 & 6 & 7 & 3 \end{array} \] A un nivel de significancia del \( 1 \% \). ¿Es posible concluir que existe diferencia entre el tiempo promedio de duración entre los dos tipos de tratamientos?. Con supuestos de Varianzas diferentes

Para determinar si existe una diferencia significativa en el tiempo promedio de duración entre los dos tipos de tratamientos al nivel de significancia del \( 1\% \), realizamos una prueba **t de Welch** debido a la suposición de varianzas diferentes. ### Datos proporcionados: - **Tratamiento Antiguo**: - Datos: \( 5, 1, 6, 7, 14, 7, 8, \frac{15}{7} \) (≈2.14) - **Media (\(\bar{X}_1\))**: ≈6.27 segundos - **Varianza (\(S_1^2\))**: ≈15.75 - **Tratamiento Nuevo**: - Datos: \( 7, 6, 9, 3, 7, 6, 7, 3 \) - **Media (\(\bar{X}_2\))**: 6.5 segundos - **Varianza (\(S_2^2\))**: ≈4.57 ### Hipótesis: - **Hipótesis nula (\(H_0\))**: No existe diferencia en los tiempos promedio (\(\mu_1 = \mu_2\)). - **Hipótesis alternativa (\(H_1\))**: Existe una diferencia en los tiempos promedio (\(\mu_1 \neq \mu_2\)). ### Cálculos: 1. **Estadístico t**: \[ t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}} = \frac{6.27 - 6.5}{\sqrt{\frac{15.75}{8} + \frac{4.57}{8}}} \approx \frac{-0.23}{1.59} \approx -0.145 \] 2. **Grados de libertad (df)** utilizando la fórmula de Welch: \[ df \approx \frac{\left(\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{S_1^2}{n_1}\right)^2}{n_1 - 1} + \frac{\left(\frac{S_2^2}{n_2}\right)^2}{n_2 - 1}} \approx 10.75 \] 3. **Valor crítico** para una prueba bilateral con \( df \approx 10.75 \) y \( \alpha = 0.01 \) es aproximadamente \( \pm3.169 \). ### Conclusión: El valor calculado del estadístico t (\(-0.145\)) se encuentra dentro del rango \(-3.169\) a \(3.169\), lo que indica que no rechazamos la hipótesis nula. **Conclusión Final**: Al nivel de significancia del \( 1\% \), no existe evidencia suficiente para concluir que hay una diferencia significativa en el tiempo promedio de duración entre el tratamiento antiguo y el nuevo. Por lo tanto, **no se puede afirmar que exista una diferencia en los tiempos promedio de los dos tratamientos**.