10. จำนวนวิธีจัดเรียงตัวอักษรในคำว่า "UTTARADIT" ซึ่ง ต้วอักษร \( A \) ไม่อยู่ติดกัน เท่ากับเท่าใด

\[ \textbf{ขั้นตอนที่ 1. จัดเรียงตัวอักษรที่ไม่ใช่ } A \] ในคำว่า "UTTARADIT" มีตัวอักษรทั้งหมด 9 ตัว โดยตัวอักษร \( A \) มี 2 ตัว จำนวนตัวอักษรที่เหลือ (ที่ไม่ใช่ \( A \)) มี 7 ตัว ซึ่งประกอบด้วยตัวอักษร: \[ \text{U, T, T, R, D, I, T} \] โดยที่ \( T \) มี 3 ตัว จำนวนวิธีการจัดเรียงตัวอักษรที่ไม่ใช่ \( A \) เท่ากับ \[ \frac{7!}{3!}. \] คำนวณได้ว่า \[ \frac{7!}{3!} = \frac{5040}{6} = 840. \] \[ \textbf{ขั้นตอนที่ 2. แทรกตัวอักษร } A \textbf{ ทีละตัวให้ไม่ติดกัน} \] เมื่อจัดเรียงตัวอักษรที่ไม่ใช่ \( A \) แล้ว จะได้แนวที่มีตัวอักษร 7 ตัว โดยมี "ช่องว่าง" ระหว่างและรอบๆตัวอักษร ดังนี้ \[ \_ \, X \, \_ \, X \, \_ \, X \, \_ \, X \, \_ \, X \, \_ \, X \, \_ \, X \, \_ \] ซึ่งมีช่องว่างทั้งหมด \( 7+1=8 \) ช่อง เราต้องเลือกช่องว่าง 2 ช่องจาก 8 ช่องเพื่อแทรกตัวอักษร \( A \) (โดยที่ไม่ให้ \( A \) อยู่ติดกัน) จำนวนวิธีที่เลือกช่องว่างมีเท่ากับ \[ \binom{8}{2}. \] คำนวณได้ว่า \[ \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28. \] \[ \textbf{ขั้นตอนที่ 3. คำนวณผลลัพธ์รวม} \] จำนวนวิธีจัดเรียงทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเท่ากับ \[ \frac{7!}{3!} \times \binom{8}{2} = 840 \times 28 = 23520. \] \[ \boxed{23520} \]