Question
Upstudy AI Solution
Tutor-Verified Answer
Answer
Функция \( z = 3x^{3} + y^{2} + 4xy - x + 2 \) имеет две критические точки:
- В точке \( A(1, -2) \) функция достигает локального минимума.
- В точке \( B\left(-\frac{1}{9}, \frac{2}{9}\right) \) функция имеет седловую точку.
Solution
Рассмотрим функцию двух переменных
z = 3x³ + y² + 4xy – x + 2.
Наша цель – найти её критические точки и исследовать их (локальные экстремумы/точки седлового типа).
1. Вычислим первые частные производные:
∂z/∂x = 9x² + 4y – 1 (так как d(3x³)/dx = 9x², d(4xy)/dx = 4y, d(–x)/dx = –1, остальные члены не зависят от x),
∂z/∂y = 2y + 4x (так как d(y²)/dy = 2y, d(4xy)/dy = 4x).
2. Найдём критические точки, приравнивая частные производные к нулю:
9x² + 4y – 1 = 0 (1)
2y + 4x = 0 (2)
Из уравнения (2) можно выразить y:
2y = –4x ⇒ y = –2x.
Подставим y = –2x в (1):
9x² + 4(–2x) – 1 = 0 ⇒ 9x² – 8x – 1 = 0.
Это квадратное уравнение относительно x. Найдем его корни по формуле:
x = [8 ± √(64 + 36)]/(2·9) = [8 ± √100]/18 = [8 ± 10]/18.
Получаем два решения:
• x₁ = (8 + 10)/18 = 18/18 = 1, тогда y₁ = –2·1 = –2;
• x₂ = (8 – 10)/18 = (–2)/18 = –1/9, тогда y₂ = –2·(–1/9) = 2/9.
Таким образом, критические точки:
A(1, –2) и B(–1/9, 2/9).
3. Для исследования природы критических точек вычислим вторые производные:
fₓₓ = ∂²z/∂x² = 18x,
f_y_y = ∂²z/∂y² = 2,
fₓ_y = f_yₓ = ∂²z/(∂x∂y) = 4.
Гессиан определяется как:
D(x,y) = fₓₓ · f_y_y – (fₓ_y)².
Рассмотрим каждую точку:
a) В точке A(1, –2):
fₓₓ = 18·1 = 18,
f_y_y = 2,
fₓ_y = 4.
D = 18·2 – 4² = 36 – 16 = 20 > 0.
Так как D > 0 и fₓₓ = 18 > 0, функция имеет локальный минимум в точке A.
b) В точке B(–1/9, 2/9):
fₓₓ = 18·(–1/9) = –2,
f_y_y = 2,
fₓ_y = 4.
D = (–2)·2 – 4² = –4 – 16 = –20 < 0.
Так как D < 0, функция имеет точку седлового типа (перехода) в точке B.
4. Итоговый ответ:
• Функция z = 3x³ + y² + 4xy – x + 2 имеет две критические точки:
– в точке A(1, –2) – локальный минимум;
– в точке B(–1/9, 2/9) – седловую точку.
Таким образом, мы полностью исследовали функцию с точки зрения нахождения критических точек и определения их природы.
Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor
Like
error msg
Explain 
Simplify this solution Bonus Knowledge
Функция \( z=3 x^{3}+y^{2}+4 x y-x+2 \) представляет собой полиномиальную поверхность в трехмерном пространстве. График этой функции можно представить, визуализируя, как значения \( z \) изменяются при различных значениях \( x \) и \( y \). Это поможет понять, какую форму и особенности может иметь поверхность, например, наличие локальных минимумов или максимумов. Если вам нужно решить уравнение этой функции для определённых значений \( x \) и \( y \), сначала подставьте значения в уравнение и упрощайте его шаг за шагом. Не забывайте сохранять порядок операций: сначала выполняйте возведение в степень, затем умножение и деление, а в последнюю очередь сложение и вычитание.
