б) \( z=3 x^{3}+y^{2}+4 x y-x+2 \)

Рассмотрим функцию двух переменных   z = 3x³ + y² + 4xy – x + 2. Наша цель ­– найти её критические точки и исследовать их (локальные экстремумы/точки седлового типа). 1. Вычислим первые частные производные:   ∂z/∂x = 9x² + 4y – 1  (так как d(3x³)/dx = 9x², d(4xy)/dx = 4y, d(–x)/dx = –1, остальные члены не зависят от x),   ∂z/∂y = 2y + 4x    (так как d(y²)/dy = 2y, d(4xy)/dy = 4x). 2. Найдём критические точки, приравнивая частные производные к нулю:   9x² + 4y – 1 = 0   (1)   2y + 4x = 0      (2) Из уравнения (2) можно выразить y:   2y = –4x ⇒ y = –2x. Подставим y = –2x в (1):   9x² + 4(–2x) – 1 = 0 ⇒ 9x² – 8x – 1 = 0. Это квадратное уравнение относительно x. Найдем его корни по формуле:   x = [8 ± √(64 + 36)]/(2·9) = [8 ± √100]/18 = [8 ± 10]/18. Получаем два решения:   • x₁ = (8 + 10)/18 = 18/18 = 1,  тогда y₁ = –2·1 = –2;   • x₂ = (8 – 10)/18 = (–2)/18 = –1/9,  тогда y₂ = –2·(–1/9) = 2/9. Таким образом, критические точки:   A(1, –2) и B(–1/9, 2/9). 3. Для исследования природы критических точек вычислим вторые производные:   fₓₓ = ∂²z/∂x² = 18x,   f_y_y = ∂²z/∂y² = 2,   fₓ_y = f_yₓ = ∂²z/(∂x∂y) = 4. Гессиан определяется как:   D(x,y) = fₓₓ · f_y_y – (fₓ_y)². Рассмотрим каждую точку:   a) В точке A(1, –2):    fₓₓ = 18·1 = 18,    f_y_y = 2,    fₓ_y = 4.    D = 18·2 – 4² = 36 – 16 = 20 > 0.    Так как D > 0 и fₓₓ = 18 > 0, функция имеет локальный минимум в точке A.   b) В точке B(–1/9, 2/9):    fₓₓ = 18·(–1/9) = –2,    f_y_y = 2,    fₓ_y = 4.    D = (–2)·2 – 4² = –4 – 16 = –20 < 0.    Так как D < 0, функция имеет точку седлового типа (перехода) в точке B. 4. Итоговый ответ:   • Функция z = 3x³ + y² + 4xy – x + 2 имеет две критические точки:    – в точке A(1, –2) – локальный минимум;    – в точке B(–1/9, 2/9) – седловую точку. Таким образом, мы полностью исследовали функцию с точки зрения нахождения критических точек и определения их природы.