100 Le plan est muni d'un repère \( (0 ; \vec{i}, \vec{j}) \). On donne les points : \( \mathrm{M}\left(\frac{5}{3} ;-\frac{3}{2}\right), \mathrm{N}\left(-\frac{1}{3} ; \frac{7}{4}\right) \) et \( \mathrm{R}\left(\frac{7}{2} ; \frac{1}{4}\right) \). - Déterminer les coordonnées du point S sachant que le quadrilatère MNRS est un parallélogramme. +

Pour déterminer les coordonnées du point \( S \) tel que le quadrilatère \( MNRS \) soit un parallélogramme, nous devons utiliser la propriété des parallélogrammes qui stipule que les vecteurs opposés sont égaux. Les coordonnées des points sont données comme suit : - \( M\left(\frac{5}{3} ; -\frac{3}{2}\right) \) - \( N\left(-\frac{1}{3} ; \frac{7}{4}\right) \) - \( R\left(\frac{7}{2} ; \frac{1}{4}\right) \) Pour un parallélogramme, nous avons la relation suivante : \[ \vec{MN} + \vec{RS} = \vec{0} \] Cela signifie que : \[ \vec{RS} = -\vec{MN} \] Calculons d'abord le vecteur \( \vec{MN} \) : \[ \vec{MN} = N - M = \left(-\frac{1}{3} - \frac{5}{3}, \frac{7}{4} - \left(-\frac{3}{2}\right)\right) \] Calculons chaque composante : 1. Pour la première composante : \[ -\frac{1}{3} - \frac{5}{3} = -\frac{6}{3} = -2 \] 2. Pour la deuxième composante : \[ \frac{7}{4} + \frac{3}{2} = \frac{7}{4} + \frac{6}{4} = \frac{13}{4} \] Ainsi, nous avons : \[ \vec{MN} = (-2, \frac{13}{4}) \] Maintenant, pour trouver \( S \), nous devons utiliser la relation \( \vec{RS} = -\vec{MN} \): \[ \vec{RS} = S - R \] Donc : \[ S - R = -\vec{MN} \] Cela nous donne : \[ S = R - \vec{MN} \] Calculons \( S \) : \[ S = \left(\frac{7}{2}, \frac{1}{4}\right) - (-2, \frac{13}{4}) \] Calculons chaque composante : 1. Pour la première composante : \[ \frac{7}{2} + 2 = \frac{7}{2} + \frac{4}{2} = \frac{11}{2} \] 2. Pour la deuxième composante : \[ \frac{1}{4} - \frac{13}{4} = -\frac{12}{4} = -3 \] Ainsi, les coordonnées du point \( S \) sont : \[ S\left(\frac{11}{2} ; -3\right) \] En résumé, les coordonnées du point \( S \) sont \( S\left(\frac{11}{2} ; -3\right) \).