9.- Hallar el volumen del paralelepípedo que forman los vectores: \( \mathbf{u}=(3 / 5) i+(4 / 5) \) \( \quad \mathbf{v}=3 \mathrm{j}+4 \mathrm{k} ; \mathbf{w}=2 i+10 j-11 \mathrm{k} \). 10.- Indique cuales vectores dados son paralelos al vector \( Z=3 \mathbf{i}+2 \mathbf{j}-5 \mathbf{k} \)

Procedimiento y solución: ────────────────────────────── 9. Volumen del paralelepípedo Se tienen los vectores   u = (3/5) i + (4/5) j              (no aparece componente en k, se toma 0)   v = 0 i + 3 j + 4 k                          w = 2 i + 10 j – 11 k El volumen de un paralelepípedo formado por los vectores u, v, w se da por el valor absoluto del producto triple escalar:   Volumen = |u · (v × w)|. Paso 1. Calcular v × w. Se expresan v y w en forma de componente:   v = (0, 3, 4)   w = (2, 10, –11) El producto vectorial se calcula con la siguiente fórmula:   v × w = ( v_y·w_z – v_z·w_y, v_z·w_x – v_x·w_z, v_x·w_y – v_y·w_x ). Calculemos cada componente:  • Componente x:   = 3·(–11) – 4·10 = –33 – 40 = –73.  • Componente y:   = 4·2 – 0·(–11) = 8 – 0 = 8.  • Componente z:   = 0·10 – 3·2 = 0 – 6 = –6. Por lo tanto,   v × w = (–73, 8, –6). Paso 2. Calcular el producto escalar u · (v × w). Recordando que u = (3/5, 4/5, 0), se tiene:   u · (v × w) = (3/5)(–73) + (4/5)(8) + 0·(–6)           = (–219/5) + (32/5)           = (–219 + 32)/5 = –187/5. El volumen es el valor absoluto de este número:   Volumen = |–187/5| = 187/5. ────────────────────────────── 10. Vectores paralelos al vector Z Se nos pide: "Indique cuáles vectores dados son paralelos al vector   Z = 3 i + 2 j – 5 k." Un vector V = (a, b, c) es paralelo a Z si y solo si existe un número real c (constante escalar) tal que:   V = c · Z  es decir,   (a, b, c) = c · (3, 2, –5) = (3c, 2c, –5c). Esto es equivalente a que se cumpla la siguiente condición de proporcionalidad:   a/3 = b/2 = c/(–5). Por ejemplo, los siguientes vectores son paralelos a Z:  • V₁ = (3, 2, –5)             (corresponde al caso c = 1)  • V₂ = (6, 4, –10)           (c = 2)  • V₃ = (–3, –2, 5)           (c = –1)  • V₄ = (9, 6, –15)           (c = 3) Cualquier otro vector que no cumpla que sus componentes estén en las relaciones a/3 = b/2 = c/(–5) NO será paralelo a Z. ────────────────────────────── Resumen de las Respuestas: 9. El volumen del paralelepípedo es 187/5. 10. Un vector es paralelo a Z = 3 i + 2 j – 5 k si y solo si es un múltiplo escalar de Z, es decir, si sus componentes cumplen a/3 = b/2 = c/(–5). Ejemplos de tales vectores son (3,2,–5), (6,4,–10), (–3,–2,5), etc.