In tire successivement 4 boules avec remise d'un sac contenant 10 boules: 3 vertes et 7 aunes. Détermine le nombre de tirages permettant d'obtenir: a) 4 boules jaunes; b) 4 boules vertes; c) 3 jaunes et 1 verte dans cet ordre ; d) 3 jaunes et une verte ; e) 2 jaunes et deux vertes dans cet ordre ; f) deux jaunes et deux vertes; g) au moins 3 vertes; h) au plus 3 jaunes.

a) Pour obtenir 4 boules jaunes, à chaque tirage il y a 7 possibilités (car 7 boules jaunes). Ainsi, le nombre de tirages est \[ 7^4 = 2401. \] b) Pour obtenir 4 boules vertes, à chaque tirage il y a 3 possibilités (car 3 boules vertes). Ainsi, le nombre de tirages est \[ 3^4 = 81. \] c) Pour obtenir 3 boules jaunes suivies d’une boule verte (dans cet ordre) : – Les 3 premiers tirages donnent chacun 7 possibilités, – Le 4\textsuperscript{ème} tirage donne 3 possibilités. Le nombre de tirages est alors \[ 7^3 \times 3 = 343 \times 3 = 1029. \] d) Pour obtenir 3 boules jaunes et 1 boule verte, quel que soit l’ordre : On choisit d’abord la position de la boule verte parmi les 4 tirages, ce qui peut se faire de \(\binom{4}{1}\) façons, puis on affecte : – Pour la position verte : 3 possibilités, – Pour chacune des 3 positions jaunes : 7 possibilités. Le nombre de tirages est \[ \binom{4}{1} \times 3 \times 7^3 = 4 \times 3 \times 343 = 4116. \] e) Pour obtenir 2 boules jaunes puis 2 boules vertes (dans cet ordre précis) : – Les 2 premiers tirages (jaunes) offrent \(7^2\) possibilités, – Les 2 suivants (vertes) offrent \(3^2\) possibilités. Le nombre de tirages est \[ 7^2 \times 3^2 = 49 \times 9 = 441. \] f) Pour obtenir 2 boules jaunes et 2 boules vertes, quel que soit l’ordre : On choisit les positions pour les 2 jaunes parmi 4 tirages, ce qui se fait en \(\binom{4}{2}\) façons, puis on affecte : – Pour chacune des 2 positions jaunes : 7 possibilités, – Pour chacune des 2 positions vertes : 3 possibilités. Le nombre de tirages est \[ \binom{4}{2} \times 7^2 \times 3^2 = 6 \times 49 \times 9 = 2646. \] g) Pour obtenir au moins 3 boules vertes, on considère les cas « exactement 3 vertes » et « exactement 4 vertes » : • Cas exactement 3 vertes et 1 jaune :  – Choix de la position de la boule jaune : \(\binom{4}{1}\),  – Possibilités : \(3^3\) pour les vertes et 7 pour la jaune.  Donne \[ \binom{4}{1} \times 3^3 \times 7 = 4 \times 27 \times 7 = 756. \] • Cas exactement 4 vertes :  Donne \[ 3^4 = 81. \] Le nombre total de tirages est \[ 756 + 81 = 837. \] h) Pour obtenir au plus 3 boules jaunes, on peut utiliser le fait que le nombre total de tirages est \(10^4=10000\) (puisqu’il y a 10 possibilités à chaque tirage) et que le seul cas exclu est celui des 4 jaunes. Le nombre de tirages avec 4 jaunes est celui trouvé en a) : \(2401\). Ainsi, le nombre de tirages est \[ 10000 - 2401 = 7599. \]