4 On tire successivement 4 boules avec remise d'un sac contenant 10 boules : 3 vertes et 7 jaunes. Détermine le nombre de tirages permettant d'obtenir: a) 4 boules jaunes; b) 4 boules vertes; c) 3 jaunes et 1 verte dans cet ordre ; d) 3 jaunes et une verte; e) 2 jaunes et deux vertes dans cet ordre ; f) deux jaunes et deux vertes; g) au moins 3 vertes ;

a) Pour obtenir 4 boules jaunes, à chaque tirage il faut tirer une boule jaune. Comme il y a 7 boules jaunes dans le sac, le nombre de façons de tirer 4 fois une boule jaune est \[ 7^4. \] b) Pour obtenir 4 boules vertes, il faut tirer une boule verte à chaque tirage. Avec 3 boules vertes dans le sac, le nombre de façons de tirer 4 fois une boule verte est \[ 3^4. \] c) Pour obtenir 3 boules jaunes suivies d’une boule verte (dans cet ordre précis), les 3 premiers tirages doivent être jaunes et le 4e vert. On a donc \[ 7^3\times 3. \] d) Pour obtenir 3 boules jaunes et 1 boule verte, sans contrainte sur l’ordre, il faut choisir la position où apparaît la boule verte. Il y a \(\binom{4}{1}\) façons de choisir cette position. Pour la position verte il y a 3 possibilités et pour chacune des 3 positions jaunes, 7 possibilités. Le nombre de tirages est donc \[ \binom{4}{1}\times 3\times 7^3. \] e) Pour obtenir 2 boules jaunes suivies de 2 boules vertes (ordre imposé : jaunes puis vertes), les 2 premiers tirages doivent donner des jaunes et les 2 suivants des vertes. Ainsi, le nombre de tirages est \[ 7^2\times 3^2. \] f) Pour obtenir 2 boules jaunes et 2 boules vertes, sans ordre imposé, il faut choisir les positions des boules jaunes. Il y a \(\binom{4}{2}\) façons de le faire. Pour les 2 positions jaunes, 7 possibilités chacune et pour les 2 positions vertes, 3 possibilités chacune. Le nombre de tirages est donc \[ \binom{4}{2}\times 7^2\times 3^2. \] g) Pour obtenir au moins 3 boules vertes, il faut considérer deux cas : exactement 3 vertes ou exactement 4 vertes. - Cas des 3 vertes : on choisit la position de la boule non verte (donc jaune) de manière parmi les 4, ce qui fait \(\binom{4}{1}\) possibilités. Pour les 3 positions vertes, 3 possibilités chacune et pour la position jaune, 7 possibilités. On obtient \[ \binom{4}{1}\times 3^3\times 7. \] - Cas des 4 vertes : on a \[ 3^4. \] Le nombre total de tirages est donc la somme des deux cas : \[ \binom{4}{1}\times 3^3\times 7+3^4. \]