\begin{tabular}{l} Dada la función $$ f(x)=-3 \cdot x^{4}+8 \cdot x^{3}+90 \cdot x^{2} $$ \ Determina lo que se te pide, escribe lo que se te pide entre ll \ atra que cierra), o bien utiliza la notación de intervalos abien \ Respuesta: \ $$ x $$ de Puntos críticos $$ = $$ \ $$ x $$ de Máximos relativos $$ = $$ \ $$ x $$ de Minimos relativos $$ = $$ \ Intervalos de crecimiento $$ = $$ \ Intervalos de decrecimiento $$ = $$ \ $$ imes $$ de puntos de inflexión $$ = $$ \ Intervalos de concavidad positiva $$ = $$ \ intervalos de concavidad negativa $$ = $$ \ \hline\end{tabular}

Question

\begin{tabular}{l} Dada la función $$ f(x)=-3 \cdot x^{4}+8 \cdot x^{3}+90 \cdot x^{2} $$ \ Determina lo que se te pide, escribe lo que se te pide entre ll \ atra que cierra), o bien utiliza la notación de intervalos abien \ Respuesta: \ $$ x $$ de Puntos críticos $$ = $$ \ $$ x $$ de Máximos relativos $$ = $$ \ $$ x $$ de Minimos relativos $$ = $$ \ Intervalos de crecimiento $$ = $$ \ Intervalos de decrecimiento $$ = $$ \ $$ 	imes $$ de puntos de inflexión $$ = $$ \ Intervalos de concavidad positiva $$ = $$ \ intervalos de concavidad negativa $$ = $$ \ \hline\end{tabular}

UpStudy AI · Accepted Answer

**1. Points critiques** La dérivée première de la fonction $$ f(x) = -3x^4 + 8x^3 + 90x^2 $$ est $$ f'(x) = -12x^3 + 24x^2 + 180x. $$ On factorise : $$ f'(x) = -12x(x^2 - 2x - 15). $$ Le trinôme se factorise en $$ x^2 - 2x - 15 = (x-5)(x+3). $$ Ainsi, $$ f'(x) = -12x(x-5)(x+3). $$ On pose $$f'(x) = 0$$ et on obtient les points critiques : $$ x = -3,\quad x = 0,\quad x = 5. $$ **2. Maximums et minimums relatifs** On calcule la dérivée seconde : $$ f''(x) = -36x^2 + 48x + 180. $$ - Pour $$x = -3$$ : $$ f''(-3) = -36\cdot9 + 48(-3) + 180 = -324 -144 + 180 = -288 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Maximum relatif}. $$ - Pour $$x = 0$$ : $$ f''(0) = 180 > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Minimum relatif}. $$ - Pour $$x = 5$$ : $$ f''(5) = -36\cdot25 + 48\cdot5 + 180 = -900 + 240 + 180 = -480 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Maximum relatif}. $$ **3. Intervalles de croissance et de décroissance** On étudie le signe de $$f'(x) = -12x(x-5)(x+3)$$ en considérant les intervalles délimités par les points critiques $$-3$$, $$0$$ et $$5$$. - Pour $$x < -3$$ (par exemple $$x = -4$$) : - $$x$$ est négatif, - $$x-5$$ est négatif, - $$x+3$$ est négatif. Produit intérieur : $$(-) \times (-) \times (-) = -$$ ; multiplié par $$-12$$ (négatif) donne $$+$$. $$\Rightarrow f'(x) > 0$$ sur $$(-\infty, -3)$$. - Pour $$-3 < x < 0$$ (par exemple $$x = -1$$) : - $$x$$ est négatif, - $$x-5$$ est négatif, - $$x+3$$ est positif. Produit intérieur : $$(-) \times (-) \times (+) = +$$ ; multiplié par $$-12$$ donne $$-$$. $$\Rightarrow f'(x) < 0$$ sur $$(-3, 0)$$. - Pour $$0 < x < 5$$ (par exemple $$x = 1$$) : - $$x$$ est positif, - $$x-5$$ est négatif, - $$x+3$$ est positif. Produit intérieur : $$(+) \times (-) \times (+) = -$$ ; multiplié par $$-12$$ donne $$+$$. $$\Rightarrow f'(x) > 0$$ sur $$(0, 5)$$. - Pour $$x > 5$$ (par exemple $$x = 6$$) : - $$x$$ est positif, - $$x-5$$ est positif, - $$x+3$$ est positif. Produit intérieur : $$(+) \times (+) \times (+) = +$$ ; multiplié par $$-12$$ donne $$-$$. $$\Rightarrow f'(x) < 0$$ sur $$(5, \infty)$$. Les intervalles sont donc : - **Croissance** : $$(-\infty, -3)$$ et $$(0, 5)$$. - **Décroissance** : $$(-3, 0)$$ et $$(5, \infty)$$. **4. Points d’inflexion et intervalles de concavité** Les points d’inflexion se trouvent en annulant la dérivée seconde : $$ f''(x) = -36x^2 + 48x + 180 = 0. $$ Divisons par $$-6$$ : $$ 6x^2 - 8x - 30 = 0. $$ Puis divisons par 2 : $$ 3x^2 - 4x - 15 = 0. $$ Le discriminant est : $$ \Delta = (-4)^2 - 4\cdot3\cdot(-15) = 16 + 180 = 196. $$ Donc, $$ x = \frac{4 \pm 14}{6}. $$ On obtient : $$ x = 3 \quad \text{et} \quad x = -\frac{5}{3}. $$ Étudions le signe de $$f''(x)$$ : - Pour $$x < -\frac{5}{3}$$ (ex. $$x=-2$$) : $$ f''(-2) = -36\cdot4 + 48(-2) + 180 = -144 -96 + 180 = -60 < 0. $$ La fonction est **concave négative** sur $$(-\infty, -\frac{5}{3})$$. - Pour $$-\frac{5}{3} < x < 3$$ (ex. $$x=0$$) : $$ f''(0) = 180 > 0. $$ La fonction est **concave positive** sur $$\left(-\frac{5}{3}, 3\right)$$. - Pour $$x > 3$$ (ex. $$x=4$$) : $$ f''(4) = -36\cdot16 + 48\cdot4 + 180 = -576 + 192 + 180 = -204 < 0. $$ La fonction est **concave négative** sur $$(3, \infty)$$. **Réponses finales** - $$x$$ de points critiques $$= \{ -3,\, 0,\, 5 \}$$ - $$x$$ de maximums relatifs $$= \{ -3,\, 5 \}$$ - $$x$$ de minimums relatifs $$= \{ 0 \}$$ - Intervalles de croissance $$= (-\infty, -3) \cup (0, 5)$$ - Intervalles de décroissance $$= (-3, 0) \cup (5, \infty)$$ - $$x$$ de points d'inflexion $$= \left\{ -\frac{5}{3},\, 3 \right\}$$ - Intervalles de concavité positive $$= \left(-\frac{5}{3},\, 3\right)$$ - Intervalles de concavité négative $$= (-\infty, -\frac{5}{3}) \cup (3, \infty)$$ - **Points critiques** : $$ x = -3, 0, 5 $$ - **Maximums relatifs** : $$ x = -3, 5 $$ - **Minimum relatif** : $$ x = 0 $$ - **Croissance** : $$ (-\infty, -3) $$ et $$ (0, 5) $$ - **Décroissance** : $$ (-3, 0) $$ et $$ (5, \infty) $$ - **Points d'inflexion** : $$ x = -\frac{5}{3}, 3 $$ - **Concavité positive** : $$ \left(-\frac{5}{3}, 3\right) $$ - **Concavité négative** : $$ (-\infty, -\frac{5}{3}) $$ et $$ (3, \infty) $$

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Calculus Questions