\begin{tabular}{l} Dada la función \( f(x)=-3 \cdot x^{4}+8 \cdot x^{3}+90 \cdot x^{2} \) \\ Determina lo que se te pide, escribe lo que se te pide entre ll \\ atra que cierra), o bien utiliza la notación de intervalos abien \\ Respuesta: \\ \( x \) de Puntos críticos \( = \) \\ \( x \) de Máximos relativos \( = \) \\ \( x \) de Minimos relativos \( = \) \\ Intervalos de crecimiento \( = \) \\ Intervalos de decrecimiento \( = \) \\ \( \times \) de puntos de inflexión \( = \) \\ Intervalos de concavidad positiva \( = \) \\ intervalos de concavidad negativa \( = \) \\ \hline\end{tabular}

**1. Points critiques** La dérivée première de la fonction \[ f(x) = -3x^4 + 8x^3 + 90x^2 \] est \[ f'(x) = -12x^3 + 24x^2 + 180x. \] On factorise : \[ f'(x) = -12x(x^2 - 2x - 15). \] Le trinôme se factorise en \[ x^2 - 2x - 15 = (x-5)(x+3). \] Ainsi, \[ f'(x) = -12x(x-5)(x+3). \] On pose \(f'(x) = 0\) et on obtient les points critiques : \[ x = -3,\quad x = 0,\quad x = 5. \] **2. Maximums et minimums relatifs** On calcule la dérivée seconde : \[ f''(x) = -36x^2 + 48x + 180. \] - Pour \(x = -3\) : \[ f''(-3) = -36\cdot9 + 48(-3) + 180 = -324 -144 + 180 = -288 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Maximum relatif}. \] - Pour \(x = 0\) : \[ f''(0) = 180 > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Minimum relatif}. \] - Pour \(x = 5\) : \[ f''(5) = -36\cdot25 + 48\cdot5 + 180 = -900 + 240 + 180 = -480 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Maximum relatif}. \] **3. Intervalles de croissance et de décroissance** On étudie le signe de \(f'(x) = -12x(x-5)(x+3)\) en considérant les intervalles délimités par les points critiques \(-3\), \(0\) et \(5\). - Pour \(x < -3\) (par exemple \(x = -4\)) : - \(x\) est négatif, - \(x-5\) est négatif, - \(x+3\) est négatif. Produit intérieur : \((-) \times (-) \times (-) = -\) ; multiplié par \(-12\) (négatif) donne \(+\). \(\Rightarrow f'(x) > 0\) sur \((-\infty, -3)\). - Pour \(-3 < x < 0\) (par exemple \(x = -1\)) : - \(x\) est négatif, - \(x-5\) est négatif, - \(x+3\) est positif. Produit intérieur : \((-) \times (-) \times (+) = +\) ; multiplié par \(-12\) donne \(-\). \(\Rightarrow f'(x) < 0\) sur \((-3, 0)\). - Pour \(0 < x < 5\) (par exemple \(x = 1\)) : - \(x\) est positif, - \(x-5\) est négatif, - \(x+3\) est positif. Produit intérieur : \((+) \times (-) \times (+) = -\) ; multiplié par \(-12\) donne \(+\). \(\Rightarrow f'(x) > 0\) sur \((0, 5)\). - Pour \(x > 5\) (par exemple \(x = 6\)) : - \(x\) est positif, - \(x-5\) est positif, - \(x+3\) est positif. Produit intérieur : \((+) \times (+) \times (+) = +\) ; multiplié par \(-12\) donne \(-\). \(\Rightarrow f'(x) < 0\) sur \((5, \infty)\). Les intervalles sont donc : - **Croissance** : \((-\infty, -3)\) et \((0, 5)\). - **Décroissance** : \((-3, 0)\) et \((5, \infty)\). **4. Points d’inflexion et intervalles de concavité** Les points d’inflexion se trouvent en annulant la dérivée seconde : \[ f''(x) = -36x^2 + 48x + 180 = 0. \] Divisons par \(-6\) : \[ 6x^2 - 8x - 30 = 0. \] Puis divisons par 2 : \[ 3x^2 - 4x - 15 = 0. \] Le discriminant est : \[ \Delta = (-4)^2 - 4\cdot3\cdot(-15) = 16 + 180 = 196. \] Donc, \[ x = \frac{4 \pm 14}{6}. \] On obtient : \[ x = 3 \quad \text{et} \quad x = -\frac{5}{3}. \] Étudions le signe de \(f''(x)\) : - Pour \(x < -\frac{5}{3}\) (ex. \(x=-2\)) : \[ f''(-2) = -36\cdot4 + 48(-2) + 180 = -144 -96 + 180 = -60 < 0. \] La fonction est **concave négative** sur \((-\infty, -\frac{5}{3})\). - Pour \(-\frac{5}{3} < x < 3\) (ex. \(x=0\)) : \[ f''(0) = 180 > 0. \] La fonction est **concave positive** sur \(\left(-\frac{5}{3}, 3\right)\). - Pour \(x > 3\) (ex. \(x=4\)) : \[ f''(4) = -36\cdot16 + 48\cdot4 + 180 = -576 + 192 + 180 = -204 < 0. \] La fonction est **concave négative** sur \((3, \infty)\). **Réponses finales** - \(x\) de points critiques \(= \{ -3,\, 0,\, 5 \}\) - \(x\) de maximums relatifs \(= \{ -3,\, 5 \}\) - \(x\) de minimums relatifs \(= \{ 0 \}\) - Intervalles de croissance \(= (-\infty, -3) \cup (0, 5)\) - Intervalles de décroissance \(= (-3, 0) \cup (5, \infty)\) - \(x\) de points d'inflexion \(= \left\{ -\frac{5}{3},\, 3 \right\}\) - Intervalles de concavité positive \(= \left(-\frac{5}{3},\, 3\right)\) - Intervalles de concavité négative \(= (-\infty, -\frac{5}{3}) \cup (3, \infty)\)