2. Después de ser lanzado verticalmente hacia arriba un objeto, ¿con qué rapidez llega al pun- to inicial?, esto es, ¿con qué rapidez llega a la posición desde la que fue lanzado?

1. Sea \( v_0 \) la rapidez inicial con la que se lanza el objeto hacia arriba y \( g \) la aceleración de la gravedad. 2. Suponiendo que se desprestan las pérdidas debidas al rozamiento y que la única fuerza actuante es la gravedad (movimiento uniformemente acelerado), se conserva la energía mecánica del objeto. 3. En el punto de lanzamiento la energía mecánica es \[ E_{\text{inicial}} = \frac{1}{2} m v_0^2. \] 4. Cuando el objeto regresa al punto inicial, su altura es la misma, por lo tanto la energía potencial gravitatoria es igual a la inicial (suponiendo \( y = 0 \), la energía potencial es 0). Así, toda la energía es de tipo cinética: \[ E_{\text{final}} = \frac{1}{2} m v^2. \] 5. Por conservación de la energía: \[ \frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m v^2. \] 6. Cancelando \( \frac{1}{2} m \) en ambos lados se obtiene: \[ v_0^2 = v^2. \] 7. Tomando la raíz cuadrada, se tiene: \[ v = \lvert v_0 \rvert. \] Dado que \( v_0 \) es una rapidez (magnitud) y la pregunta se refiere a la rapidez, el valor es \[ v = v_0. \] Por lo tanto, el objeto llega al punto inicial con la misma rapidez con la que fue lanzado, es decir, \( v_0 \).