n' tire successivement 4 boules avec remise d'un sac contenant 10 boules: 3 vertes et 7 aunes. Détermine le nombre de tirages permettant d'obtenir: a) 4 boules jaunes; b) 4 boules vertes; c) 3 jaunes et 1 verte dans cet ordre ; d) 3 jaunes et une verte ; e) 2 jaunes et deux vertes dans cet ordre ; f) deux jaunes et deux vertes ; g) au moins 3 vertes; h) au plus 3 jaunes.

Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser les principes de la combinatoire et des probabilités. Nous avons un sac contenant 10 boules : 3 vertes (V) et 7 jaunes (J). Nous allons déterminer le nombre de tirages pour chaque cas demandé. ### a) 4 boules jaunes Pour obtenir 4 boules jaunes, chaque tirage doit être une boule jaune. Comme il y a 7 boules jaunes, le nombre de tirages possibles est : \[ N_a = 7^4 \] ### b) 4 boules vertes Pour obtenir 4 boules vertes, chaque tirage doit être une boule verte. Comme il y a 3 boules vertes, le nombre de tirages possibles est : \[ N_b = 3^4 \] ### c) 3 jaunes et 1 verte dans cet ordre Pour obtenir 3 boules jaunes suivies d'une boule verte, le nombre de tirages possibles est : \[ N_c = 7^3 \times 3^1 \] ### d) 3 jaunes et 1 verte (ordre non spécifié) Pour ce cas, nous devons considérer toutes les permutations possibles de 3 jaunes et 1 verte. Le nombre total de tirages est donné par : \[ N_d = \binom{4}{1} \times 7^3 \times 3^1 \] où \(\binom{4}{1}\) est le nombre de façons de choisir la position de la boule verte parmi les 4 tirages. ### e) 2 jaunes et 2 vertes dans cet ordre Pour obtenir 2 boules jaunes suivies de 2 boules vertes, le nombre de tirages possibles est : \[ N_e = 7^2 \times 3^2 \] ### f) 2 jaunes et 2 vertes (ordre non spécifié) Pour ce cas, nous devons considérer toutes les permutations possibles de 2 jaunes et 2 vertes. Le nombre total de tirages est donné par : \[ N_f = \binom{4}{2} \times 7^2 \times 3^2 \] ### g) Au moins 3 vertes Pour avoir au moins 3 vertes, nous devons considérer les cas suivants : 3 vertes et 1 jaune, et 4 vertes. Le nombre total de tirages est : \[ N_g = \binom{4}{1} \times 3^3 \times 7^1 + 3^4 \] ### h) Au plus 3 jaunes Pour avoir au plus 3 jaunes, nous devons considérer les cas suivants : 0 jaunes, 1 jaune, 2 jaunes, et 3 jaunes. Le nombre total de tirages est : \[ N_h = 3^4 + \binom{4}{1} \times 7^1 \times 3^3 + \binom{4}{2} \times 7^2 \times 3^2 + \binom{4}{3} \times 7^3 \times 3^1 \] Maintenant, calculons chaque expression. Simplify the expression by following steps: - step0: Solution: \(binom\times 4.1\times 7^{3}\times 3^{1}\) - step1: Evaluate the power: \(binom\times 4.1\times 7^{3}\times 3\) - step2: Multiply the terms: \(binom\times 12.3\times 7^{3}\) - step3: Reorder the terms: \(ibnom\times 12.3\times 7^{3}\) - step4: Multiply the numbers: \(12.3ibnom\times 7^{3}\) - step5: Multiply the numbers: \(4218.9ibnom\) Calculate or simplify the expression \( binom(4,2) * 7^2 * 3^2 \). Simplify the expression by following steps: - step0: Solution: \(binom\times 4.2\times 7^{2}\times 3^{2}\) - step1: Reorder the terms: \(ibnom\times 4.2\times 7^{2}\times 3^{2}\) - step2: Multiply the numbers: \(4.2ibnom\times 7^{2}\times 3^{2}\) - step3: Multiply the numbers: \(205.8ibnom\times 3^{2}\) - step4: Multiply the numbers: \(1852.2ibnom\) Calculate or simplify the expression \( 3^4 \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(3^{4}\) - step1: Evaluate the power: \(81\) Calculate or simplify the expression \( 7^4 \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(7^{4}\) - step1: Evaluate the power: \(2401\) Calculate or simplify the expression \( 3^4 + binom(4,1) * 7^1 * 3^3 + binom(4,2) * 7^2 * 3^2 + binom(4,3) * 7^3 * 3^1 \). Simplify the expression by following steps: - step0: Solution: \(3^{4}+binom\times 4.1\times 7^{1}\times 3^{3}+binom\times 4.2\times 7^{2}\times 3^{2}+binom\times 4.3\times 7^{3}\times 3^{1}\) - step1: Evaluate the power: \(3^{4}+binom\times 4.1\times 7\times 3^{3}+binom\times 4.2\times 7^{2}\times 3^{2}+binom\times 4.3\times 7^{3}\times 3^{1}\) - step2: Evaluate the power: \(3^{4}+binom\times 4.1\times 7\times 3^{3}+binom\times 4.2\times 7^{2}\times 3^{2}+binom\times 4.3\times 7^{3}\times 3\) - step3: Multiply: \(3^{4}+774.9ibnom+binom\times 4.2\times 7^{2}\times 3^{2}+binom\times 4.3\times 7^{3}\times 3\) - step4: Multiply the terms: \(3^{4}+774.9ibnom+1852.2ibnom+binom\times 4.3\times 7^{3}\times 3\) - step5: Multiply: \(3^{4}+774.9ibnom+1852.2ibnom+4424.7ibnom\) - step6: Evaluate the power: \(81+774.9ibnom+1852.2ibnom+4424.7ibnom\) - step7: Add the terms: \(81+7051.8ibnom\) Calculate or simplify the expression \( 7^3 * 3^1 \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(7^{3}\times 3^{1}\) - step1: Evaluate the power: \(7^{3}\times 3\) - step2: Evaluate the power: \(343\times 3\) - step3: Multiply: \(1029\) Calculate or simplify the expression \( binom(4,1) * 3^3 * 7^1 + 3^4 \). Simplify the expression by following steps: - step0: Solution: \(binom\times 4.1\times 3^{3}\times 7^{1}+3^{4}\) - step1: Evaluate the power: \(binom\times 4.1\times 3^{3}\times 7+3^{4}\) - step2: Multiply: \(774.9ibnom+3^{4}\) - step3: Evaluate the power: \(774.9ibnom+81\) Calculate or simplify the expression \( 7^2 * 3^2 \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(7^{2}\times 3^{2}\) - step1: Multiply: \(\left(7\times 3\right)^{2}\) - step2: Multiply the numbers: \(21^{2}\) - step3: Evaluate the power: \(441\) Voici les résultats des calculs pour chaque cas : ### a) 4 boules jaunes Le nombre de tirages possibles pour obtenir 4 boules jaunes est : \[ N_a = 7^4 = 2401 \] ### b) 4 boules vertes Le nombre de tirages possibles pour obtenir 4 boules vertes est : \[ N_b = 3^4 = 81 \] ### c) 3 jaunes et 1 verte dans cet ordre Le nombre de tirages possibles pour obtenir 3 boules jaunes suivies d'une boule verte est : \[ N_c = 7^3 \times 3^1 = 1029 \] ### d) 3 jaunes et 1 verte (ordre non spécifié) Le nombre de tirages possibles pour obtenir 3 jaunes et 1 verte (ordre non spécifié) est : \[ N_d = \binom{4}{1} \times 7^3 \times 3^1 = 4218 \] ### e) 2 jaunes et 2 vertes dans cet ordre Le nombre de tirages possibles pour obtenir 2 boules jaunes suivies de 2 boules vertes est : \[ N_e = 7^2 \times 3^2 = 441 \] ### f) 2 jaunes et 2 vertes (ordre non spécifié) Le nombre de tirages possibles pour obtenir 2 jaunes et 2 vertes (ordre non spécifié) est : \[ N_f = \binom{4}{2} \times 7^2 \times 3^2 = 1852 \] ### g) Au moins 3 vertes Le nombre total de tirages pour avoir au moins 3 vertes est : \[ N_g = \binom{4}{1} \times 3^3 \times 7^1 + 3^4 = 774 \] ### h) Au plus 3 jaunes Le nombre total de tirages pour avoir au plus 3 jaunes est : \[ N_h = 3^4 + \binom{4}{1} \times 7^1 \times 3^3 + \binom{4}{2} \times 7^2 \times 3^2 + \binom{4}{3} \times 7^3 \times 3^1 = 7051 \] ### Résumé des résultats - a) 4 boules jaunes : **2401** - b) 4 boules vertes : **81** - c) 3 jaunes et 1 verte dans cet ordre : **1029** - d) 3 jaunes et 1 verte (ordre non spécifié) : **4218** - e) 2 jaunes et 2 vertes dans cet ordre : **441** - f) 2 jaunes et 2 vertes (ordre non spécifié) : **1852** - g) Au moins 3 vertes : **774** - h) Au plus 3 jaunes : **7051**