5. Un polígono de \( n \) lados tiene \( d \) diagonales y otro poligono de \( 2 n \) lados tiene \( 5 d \) diagonales. ¿Cuántos lados tiene el segundo poligono? \( \begin{array}{lll}\text { A) } 9 & \text { B) } 8 & \text { C) } 16 \\ \begin{array}{llll}\text { D) } 12 & & \text { (n-2) } \\ \text { D) } 18 & \frac{n(n-3)}{2}\end{array}\end{array} \)

Para resolver este problema, primero debemos recordar la fórmula para calcular el número de diagonales \( d \) en un polígono de \( n \) lados, que es: \[ d = \frac{n(n-3)}{2} \] Ahora, si tenemos un polígono de \( 2n \) lados, el número de diagonales será: \[ d' = \frac{2n(2n-3)}{2} = n(2n-3) \] De acuerdo a la información dada, sabemos que \( d' = 5d \). Así que igualamos las expresiones: \[ n(2n-3) = 5 \cdot \frac{n(n-3)}{2} \] Multiplicamos ambos lados por 2 para deshacernos del denominador: \[ 2n(2n-3) = 5n(n-3) \] Simplificamos: \[ 4n^2 - 6n = 5n^2 - 15n \] Pasamos todos los términos al lado izquierdo: \[ 4n^2 - 5n^2 + 15n - 6n = 0 \] Esto se reduce a: \[ -n^2 + 9n = 0 \] Factoremos: \[ n(n - 9) = 0 \] Por lo que \( n = 0 \) o \( n = 9 \). Dado que un polígono no puede tener 0 lados, debemos considerar \( n = 9 \). Ahora, encontramos el número de lados del segundo polígono, que tiene \( 2n \): \[ 2n = 2 \times 9 = 18 \] Por lo tanto, el segundo polígono tiene **18 lados**. La respuesta es \( D) 18 \).