1) $$ f^{x}(x)=\frac{x^{2}-6 x+9}{2 x-4} $$ 2) $$ g(x)=x^{2}-6 x+9 $$ 3) $$ f(x)=\frac{2 x-4}{x^{2}-x+1} $$ 4) $$ g(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{3} 6 x+9 x} $$ 5) $$ f(x)=\sqrt{x^{2}-7 x+10} $$ 6) $$ f(x)=\sqrt{3 x-2 x+1} $$ 7) $$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{3^{x}-16}} $$ $$ \sum_{9}^{8} \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} $$ $$ 9 \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1) Soit 
$$
f^x(x)=\frac{x^2-6x+9}{2x-4}.
$$
Nous remarquons que le numérateur se factorise :
$$
x^2-6x+9=(x-3)^2,
$$
et le dénominateur s’écrit
$$
2x-4=2(x-2).
$$
On a donc
$$
f^x(x)=\frac{(x-3)^2}{2(x-2)}.
$$
Il faut noter que la fonction n’est pas définie pour $$x=2$$ car le dénominateur s’annule.

2) La fonction
$$
g(x)=x^2-6x+9
$$
se factorise de la même manière :
$$
g(x)=(x-3)^2.
$$

3) Pour
$$
f(x)=\frac{2x-4}{x^2-x+1},
$$
on peut écrire le numérateur sous la forme factorisée :
$$
2x-4=2(x-2).
$$
Ainsi,
$$
f(x)=\frac{2(x-2)}{x^2-x+1}.
$$
Le polynôme $$x^2-x+1$$ n’a pas de racines réelles (son discriminant est $$1-4= -3$$) donc il est toujours non nul. Le domaine de définition est donc $$\mathbb{R}$$.

4) On considère
$$
g(x)=\frac{x^2+1}{x^3\,6x+9x}.
$$
L’écriture du dénominateur prête à confusion à cause de l’espacement. En supposant que l’intention était d’écrire
$$
g(x)=\frac{x^2+1}{x^3+6x+9x},
$$
on regroupe les termes du dénominateur :
$$
x^3+6x+9x = x^3+15x.
$$
On peut alors factoriser par $x$ :
$$
x^3+15x=x\,(x^2+15).
$$
Ainsi,
$$
g(x)=\frac{x^2+1}{x\,(x^2+15)}.
$$
Notez que pour que $$g(x)$$ soit défini, on doit avoir $$x\neq 0$$.

(Autrement, si l’intention était d’obtenir $$x^3-6x+9x=x^3+3x$$, alors
$$
g(x)=\frac{x^2+1}{x\,(x^2+3)},
$$
ce qui conduit à un résultat similaire.)

5) Pour la fonction
$$
f(x)=\sqrt{x^2-7x+10},
$$
on factorise l'expression sous la racine :
$$
x^2-7x+10=(x-2)(x-5).
$$
La racine carrée est définie lorsque
$$
(x-2)(x-5)\ge 0.
$$
L'inéquation se résout en deux intervalles :
- $$x\le 2$$,
- $$x\ge 5$$.

6) Pour
$$
f(x)=\sqrt{3x-2x+1},
$$
on simplifie à l’intérieur de la racine :
$$
3x-2x+1=x+1,
$$
d’où
$$
f(x)=\sqrt{x+1}.
$$
La condition de définition est $$x+1\ge 0$$, soit $$x\ge -1$$.

7) Considérons
$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{3^x-16}}.
$$
Pour que l’expression sous la racine soit strictement positive (car le dénominateur ne doit pas être nul), il faut
$$
3^x-16>0 \quad \Longrightarrow \quad 3^x>16.
$$
En prenant le logarithme en base $$3$$, on obtient :
$$
x>\frac{\ln 16}{\ln 3}.
$$

8) L'expression
$$
\sum_{9}^{8} \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}
$$
indique une somme dont la borne inférieure est $$9$$ et la borne supérieure est $$8$$. En notation usuelle, si l’indice itère des entiers et la borne inférieure est supérieure à la borne supérieure, la somme est vide et par convention vaut $$0$$.

9) Enfin, l'expression
$$
9\,\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}
$$
peut être réécrite sans changement, ou encore : 
$$
\frac{9\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}.
$$
Il n’existe pas de simplification supplémentaire évidente à moins d’imposer des conditions supplémentaires sur $$x$$ (notamment pour garantir la définition des racines carrées, il faut que $$x-1\ge 0$$ et $$x+1>0$$, c’est-à-dire $$x\ge 1$$).
1) $$ f^x(x) = \frac{(x-3)^2}{2(x-2)} $$ (définie pour $$ x \neq 2 $$) 2) $$ g(x) = (x-3)^2 $$ 3) $$ f(x) = \frac{2(x-2)}{x^2 - x + 1} $$ (définie pour tout $$ x $$) 4) $$ g(x) = \frac{x^2 + 1}{x(x^2 + 15)} $$ (définie pour $$ x \neq 0 $$) 5) $$ f(x) = \sqrt{(x-2)(x-5)} $$ (définie pour $$ x \leq 2 $$ ou $$ x \geq 5 $$) 6) $$ f(x) = \sqrt{x+1} $$ (définie pour $$ x \geq -1 $$) 7) $$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{3^x - 16}} $$ (définie pour $$ x > \frac{\ln 16}{\ln 3} $$) 8) La somme est vide car la borne inférieure est supérieure à la borne supérieure. 9) $$ 9 \times \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}} $$ (définie pour $$ x \geq 1 $$)

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