Cuál de las siguientes opciones representa correctamente la antiderivada de la función $$ f(x, y)=x^{2} y $$ con respecto a $$ { }_{x} $$, tratando a $$ y $$ como una constante? $$ \frac{x^{3} y}{3}+C $$ $$ \frac{x^{3} y^{2}}{3}+C $$ $$ \frac{x^{3}}{3}+C $$

Question

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Sea la función $$ f(x,y)=x^2 y $$, y se desea encontrar su antiderivada con respecto a $$ x $$ tratando a $$ y $$ como una constante.

1. Al tratar a $$ y $$ como constante, podemos extraerla de la integral:
   $$
   \int x^2 y \, dx = y \int x^2 \, dx.
   $$
2. Integramos $$ x^2 $$ respecto a $$ x $$:
   $$
   \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3},
   $$
   por lo que la antiderivada es:
   $$
   y \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{x^3 y}{3}.
   $$
3. Agregando la constante de integración $$ C $$, obtenemos:
   $$
   \frac{x^3 y}{3} + C.
   $$

Por lo tanto, la opción correcta es:

$$ \frac{x^3 y}{3}+C $$
La antiderivada de $$ f(x, y) = x^2 y $$ con respecto a $$ x $$, tratando a $$ y $$ como constante, es $$ \frac{x^3 y}{3} + C $$.

Cuál de las siguientes opciones representa correctamente la antiderivada de la función \( f(x, y)=x^{2} y \) con respecto a \( { }_{x} \), tratando a \( y \) como una constante? \( \frac{x^{3} y}{3}+C \) \( \frac{x^{3} y^{2}}{3}+C \) \( \frac{x^{3}}{3}+C \)

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