Problema 27:Al aumentar en la mismo proponción la longitud de los lados de un Cuadrado, su área aumenta en un \( 69 \% \). CQué poncentaje aumentaron Sus lados?

Para resolver el problema, sigamos estos pasos: 1. **Condiciones conocidas:** - Un cuadrado tiene lados de longitud \( L \). - Al aumentar la longitud de los lados en una proporción \( x \), el área del cuadrado aumenta en un \( 69\% \). 2. **Área del cuadrado original:** \[ A_1 = L^2 \] 3. **Nueva longitud de los lados:** Si los lados aumentan en una proporción \( x \), la nueva longitud de los lados será: \[ L' = L(1 + x) \] 4. **Nueva área del cuadrado:** \[ A_2 = (L')^2 = (L(1 + x))^2 = L^2(1 + x)^2 \] 5. **Aumento del área:** Según el problema, el área aumenta en un \( 69\% \), lo que significa que: \[ A_2 = A_1 + 0.69 A_1 = 1.69 A_1 \] Sustituyendo \( A_1 \): \[ L^2(1 + x)^2 = 1.69 L^2 \] 6. **Dividiendo ambos lados por \( L^2 \) (asumiendo \( L \neq 0 \)):** \[ (1 + x)^2 = 1.69 \] 7. **Resolviendo para \( 1 + x \):** Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados: \[ 1 + x = \sqrt{1.69} \] 8. **Calculando \( \sqrt{1.69} \):** \[ \sqrt{1.69} = 1.3 \] Por lo tanto: \[ 1 + x = 1.3 \] 9. **Despejando \( x \):** \[ x = 1.3 - 1 = 0.3 \] 10. **Porcentaje de aumento:** Para encontrar el porcentaje de aumento de los lados, multiplicamos \( x \) por \( 100\% \): \[ \text{Porcentaje de aumento} = 0.3 \times 100\% = 30\% \] Por lo tanto, el porcentaje en que aumentaron los lados del cuadrado es del **30%**.