Elercicio 3 Dados el plano $$ \varepsilon: 2 x-y+(m-2) z-n+6=0 $$ con $$ m, n \in R, y $$ la recta $$ H $$ determinada por los siguientes planos: $$ \left\{\begin{array}{l}x-2 y+z-2=0 \ y+2 z-1=0\end{array} ight. $$ 1) halla $$ m, n $$ para que el plano $$ \varepsilon $$ contenga a la recta $$ H $$ 2) $$ m, n $$ para que la recta $$ H $$ sea paralela al plano $$ \varepsilon $$ 3) $$ m, n $$ para que la recta $$ H $$ y el plano $$ \varepsilon $$ se corten en un punto

Question

Elercicio 3 Dados el plano $$ \varepsilon: 2 x-y+(m-2) z-n+6=0 $$ con $$ m, n \in R, y $$ la recta $$ H $$ determinada por los siguientes planos: $$ \left\{\begin{array}{l}x-2 y+z-2=0 \ y+2 z-1=0\end{array}ight. $$ 1) halla $$ m, n $$ para que el plano $$ \varepsilon $$ contenga a la recta $$ H $$ 2) $$ m, n $$ para que la recta $$ H $$ sea paralela al plano $$ \varepsilon $$ 3) $$ m, n $$ para que la recta $$ H $$ y el plano $$ \varepsilon $$ se corten en un punto

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Para resolver el ejercicio, primero necesitamos entender la relación entre el plano $$ \varepsilon $$ y la recta $$ H $$ determinada por los dos planos dados.

### 1) Hallar $$ m, n $$ para que el plano $$ \varepsilon $$ contenga a la recta $$ H $$

Para que el plano $$ \varepsilon $$ contenga a la recta $$ H $$, todos los puntos de la recta deben satisfacer la ecuación del plano. Primero, encontramos la dirección de la recta $$ H $$ a partir de los planos que la definen.

Los planos son:
1. $$ x - 2y + z - 2 = 0 $$ (denotémoslo como $$ P_1 $$)
2. $$ y + 2z - 1 = 0 $$ (denotémoslo como $$ P_2 $$)

Para encontrar la dirección de la recta $$ H $$, resolvemos el sistema de ecuaciones. De $$ P_2 $$, podemos despejar $$ y $$:
$$
y = 1 - 2z
$$
Sustituyendo $$ y $$ en $$ P_1 $$:
$$
x - 2(1 - 2z) + z - 2 = 0 \
x - 2 + 4z + z - 2 = 0 \
x + 5z - 4 = 0 \
x = 4 - 5z
$$

Ahora tenemos:
$$
x = 4 - 5t, \quad y = 1 - 2t, \quad z = t
$$
donde $$ t $$ es un parámetro. La dirección de la recta $$ H $$ es $$ (-5, -2, 1) $$.

Para que el plano $$ \varepsilon $$ contenga a la recta $$ H $$, el vector normal del plano $$ \varepsilon $$ debe ser ortogonal al vector director de la recta $$ H $$. El vector normal de $$ \varepsilon $$ es $$ (2, -1, m-2) $$.

Calculamos el producto punto:
$$
(2, -1, m-2) \cdot (-5, -2, 1) = 0 \
2(-5) + (-1)(-2) + (m-2)(1) = 0 \
-10 + 2 + m - 2 = 0 \
m - 10 = 0 \
m = 10
$$

Ahora sustituimos $$ m = 10 $$ en la ecuación del plano $$ \varepsilon $$:
$$
2x - y + (10 - 2)z - n + 6 = 0 \
2x - y + 8z - n + 6 = 0
$$
Para que el plano contenga a la recta, también debemos asegurarnos de que un punto de la recta $$ H $$ satisfaga la ecuación del plano. Tomemos $$ t = 0 $$:
$$
x = 4, \quad y = 1, \quad z = 0
$$
Sustituyendo en el plano:
$$
2(4) - 1 + 8(0) - n + 6 = 0 \
8 - 1 - n + 6 = 0 \
13 - n = 0 \
n = 13
$$

Por lo tanto, para que el plano $$ \varepsilon $$ contenga a la recta $$ H $$, tenemos:
$$
m = 10, \quad n = 13
$$

### 2) Hallar $$ m, n $$ para que la recta $$ H $$ sea paralela al plano $$ \varepsilon $$

Para que la recta $$ H $$ sea paralela al plano $$ \varepsilon $$, el vector director de la recta debe ser paralelo al vector normal del plano. Esto significa que el producto cruzado entre el vector normal y el vector director debe ser cero.

Ya sabemos que el vector normal de $$ \varepsilon $$ es $$ (2, -1, m-2) $$ y el vector director de $$ H $$ es $$ (-5, -2, 1) $$.

Para que sean paralelos, debe existir un escalar $$ k $$ tal que:
$$
(2, -1, m-2) = k(-5, -2, 1)
$$

Esto nos da el siguiente sistema de ecuaciones:
1. $$ 2 = -5k $$
2. $$ -1 = -2k $$
3. $$ m - 2 = k $$

De la primera ecuación:
$$
k = -\frac{2}{5}
$$

De la segunda ecuación:
$$
-1 = -2k \implies k = \frac{1}{2}
$$

Igualando las dos expresiones para $$ k $$:
$$
-\frac{2}{5} = \frac{1}{2}
$$
Esto no tiene solución, lo que significa que no hay valores de $$ m $$ y $$ n $$ que hagan que la recta $$ H $$ sea paralela al plano $$ \varepsilon $$.

### 3) Hallar $$ m, n $$ para que la recta $$ H $$ y el plano $$ \varepsilon $$ se corten en un punto

Para que la recta $$ H $$ y el plano $$ \varepsilon $$ se corten, el vector normal del plano no debe ser ortogonal al vector director de la recta. Esto significa que el producto punto no debe ser cero.

Ya sabemos que:
$$
(2, -1, m-2) \cdot (-5, -2, 1) = 0 \
-10 + 2 + m - 2 = 0 \
m - 10 = 0 \implies m = 10
$$

Para que se corten, $$ m $$ puede ser cualquier valor diferente de 10. Por lo tanto, $$ m $$ puede ser cualquier número real excepto 10, y $$ n $$ puede ser cualquier número real.

Resumiendo:
- Para que el plano $$ \varepsilon $$ contenga a la recta $$ H $$: $$ m = 10, n = 13 $$
- Para que la recta $$ H $$ sea paralela al plano $$ \varepsilon $$: No hay solución.
- Para que la recta $$ H $$ y el plano $$ \varepsilon $$ se corten en un punto: $$ m \neq 10, n \in \mathbb{R} $$.
1) $$ m = 10, n = 13 $$ 2) No hay solución. 3) $$ m \neq 10, n \in \mathbb{R} $$

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