drive Mgmal passador traducter Corrector catalan Corrector Castellano 3p. C5. Donat el quadrilàter $$ A B C D $$, en el qual $$ A(-2,2), B(2,2), C(2,-2) $$ i $$ D(-2,-2) $$. a) Demostra que és un quadrat (calcula la mesura dels seus costas i els angles interiors). b) Troba l'equació de la circumferéncia inserita en el quadrat.

Question

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1. **Cálculo de las longitudes de los lados**

Dadas las coordenadas:
   - $$ A(-2,2) $$
   - $$ B(2,2) $$
   - $$ C(2,-2) $$
   - $$ D(-2,-2) $$

La distancia entre dos puntos $$(x_1,y_1)$$ y $$(x_2,y_2)$$ es:
   $$
   d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
   $$

- Lado $$AB$$:
     $$
     AB = \sqrt{(2-(-2))^2+(2-2)^2} = \sqrt{(4)^2+0^2} = \sqrt{16} = 4.
     $$
     
   - Lado $$BC$$:
     $$
     BC = \sqrt{(2-2)^2+(-2-2)^2} = \sqrt{0^2+(-4)^2} = \sqrt{16} = 4.
     $$

- Lado $$CD$$:
     $$
     CD = \sqrt{(-2-2)^2+(-2-(-2))^2} = \sqrt{(-4)^2+0^2} = \sqrt{16} = 4.
     $$

- Lado $$DA$$:
     $$
     DA = \sqrt{(-2-(-2))^2+(2-(-2))^2} = \sqrt{0^2+(4)^2} = \sqrt{16} = 4.
     $$

Todos los lados miden $$4$$.

2. **Verificación de los ángulos interiores**

Para comprobar que los ángulos son rectos, calculemos el producto punto entre vectores consecutivos.

- Vector $$ \overrightarrow{AB} $$:
     $$
     \overrightarrow{AB} = (2-(-2), \ 2-2) = (4, \ 0)
     $$
     
   - Vector $$ \overrightarrow{BC} $$:
     $$
     \overrightarrow{BC} = (2-2, \ -2-2) = (0, \ -4)
     $$
     
   El producto punto:
   $$
   \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (4)(0)+(0)(-4)=0
   $$
   Como el producto es $$0$$, el ángulo entre estos vectores es $$\pi/2$$ (90°).

De forma similar, se verifica que todos los ángulos entre lados consecutivos son de $$90^\circ$$.

Por tanto, el cuadrilátero es un cuadrado.

3. **Ecuación de la circunferencia inscrita en el cuadrado**

La circunferencia inscrita (círculo inscrito) toca todos los lados del cuadrado y su centro coincide con el del cuadrado. El centro del cuadrado se calcula como el promedio de las coordenadas de dos vértices opuestos, por ejemplo, $$ A(-2,2) $$ y $$ C(2,-2) $$:
   $$
   O\left(\frac{-2+2}{2},\frac{2+(-2)}{2}\right) = O(0,0).
   $$

El radio de la circunferencia inscrita es la distancia desde el centro hasta cualquiera de los lados. Dado que el lado mide $$4$$, el radio es:
   $$
   r = \frac{4}{2} = 2.
   $$

Así, la ecuación de la circunferencia con centro $$(0,0)$$ y radio $$2$$ es:
   $$
   x^2 + y^2 = 2^2,
   $$
   lo que se simplifica a:
   $$
   x^2 + y^2 = 4.
   $$
**a) El cuadrilátero $$ABCD$$ es un cuadrado porque todos sus lados miden 4 unidades y todos sus ángulos son rectos.** **b) La ecuación de la circunferencia inscrita en el cuadrado es $$x^2 + y^2 = 4$$.**

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