CONTEXIO: Las preguntas están formuladas con un enunciado inicial y cuatro opciones de respuesta, siendo solo una de ellas la correcta. Enunciado: Determine las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta \( \lfloor \) que atraviesa los puntos. \( P=(1,2,3) \) y \( Q=(-2,1,1) \). Seleccione una: \[ \begin{array}{l} x=2-t \quad y=1-3 j \quad z=1+3 t \\ \frac{x-2}{-1}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z-1}{3} \end{array} \] \[ x=1-3 t \quad y=2-j \quad z=3-2 t \] \[ \frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{2} \] \( x=3-3 t \quad y=2-2 j \quad z=2-2 t \) \( \frac{x-3}{3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-2}{-2} \) \[ \begin{array}{l} x=1-2 t \quad y=1-j \quad z=3-t \\ \frac{z-1}{-2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-3}{1} \end{array} \]

Para obtener las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos \( P=(1,2,3) \) y \( Q=(-2,1,1) \), primero precisamos el vector director. Esto se logra restando las coordenadas de \( P \) de las de \( Q \): \( \vec{v} = Q - P = (-2 - 1, 1 - 2, 1 - 3) = (-3, -1, -2) \). Las ecuaciones paramétricas de la recta se encuentran usando \( P \) y el vector director: \[ x = 1 - 3t, \quad y = 2 - t, \quad z = 3 - 2t. \] Las ecuaciones simétricas se derivan de despejar \( t \) en las ecuaciones anteriores y luego igualarlas: \[ \frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 3}{-2}. \] Los resultados correctos son las ecuaciones mencionadas. ¡Eureka! Matemáticas en acción. ¡Ahora a la práctica! La geometría analítica de líneas rectas es fundamental en muchas aplicaciones, desde la navegación hasta la ingeniería. Por ejemplo, en sistemas de GPS se utilizan estas ecuaciones para determinar rutas eficientes. La recta que conecta dos puntos es, de hecho, el camino más corto; ¡así que asegúrate de que tus ecuaciones sean correctas cuando estés planeando tu próximo viaje!